\[ \omega + \overline{\omega} = 2 \re \omega = -1 \]
であるから,
\begin{align} (a + b \omega) \overline{(a + b \omega)} &= (a + b \omega) (a + b \overline{\omega} ) \\ &= a^{2} + ab(\omega + \overline{\omega}) + b^{2} \\ &= a^{2} - ab + b^{2} \\ &= N(a + b \omega). \end{align}
したがって,
\[ N(u + vi) = (u + vi) \overline{(u + vi)} = (u + vi) (u - vi) = u^{2} + v^{2}. \quad \Box \]