(1) (a) 直接的な計算による解法.
\[ \alpha = a + bi,\,\, \beta = c + di \]
とおくと,
\[ \alpha \beta = (ac - bd) + (ad + bc)i. \]
これより,
\begin{align}
N(\alpha \beta) &= (ac - bd)^{2} + (ad + bc)^{2} \\
&= (ac)^{2} + (bd)^{2} + (ad)^{2} + (bc)^{2} \\
&= (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) \\
&= N(\alpha) N(\beta). \quad \Box
\end{align}
(b) を用いた解法.
\[ N(\alpha \beta) = \alpha \beta \cdot \overline{\alpha \beta} = \alpha \beta \cdot \overline{\alpha} \overline{\beta} = \alpha \overline{\alpha} \cdot \beta \overline{\beta} = N(\alpha) N(\beta). \quad \Box \]
(2) \( \mathbb{Z} [i] \) において とする. このとき, ある \( \beta \in \mathbb{Z}[i] \) が存在して,
\[ \alpha \beta = \gamma. \]
(1) より,
\[ N(\alpha) N(\beta) = N(\gamma) \]
であるから, において
.