反転円 Ａ’, Ｂ’, Ｃ’
２点 Ｂ0, Ｃ0 を通り円 Ｄ に直交する円を Ａ’ とします. （円 Ｄ’ のときと同じ理由により, 円 Ａ’ は点 Ｐ を通ります.）
円 Ａ’ は三角形 ＢＣＤ と次のような関係にあります:
- 辺 ＢＣ と点 Ｐ で接している.
- 辺 ＤＢ の延長と点 Ｂ0 で接している.
- 辺 ＤＣ の延長と点 Ｃ0 で接している.
このような円は, 一般に, 三角形の傍接円と呼ばれます. 円 Ａ’ は三角形 ＢＣＤ の傍接円というわけです.
傍接円の中心と半径を求める公式によれば, 円 Ａ’ の中心と半径は, 三角形 ＢＣＤ の面積を Ｓ として, 次のように表されます:
\begin{align} (\mathrm{A}'_x, \mathrm{A}'_y) &= \frac{b}{b+c-d} (\mathrm{B}_x, \mathrm{B}_y) + \frac{c}{b+c-d} (\mathrm{C}_x, \mathrm{C}_y) + \frac{-d}{b+c-d} (\mathrm{D}_x, \mathrm{D}_y),\\[0.5em] r_{\mathrm{A}'} &= \frac{2S}{b+c-d}. \end{align}
三角形 ＢＣＤ の頂点の座標と辺の長さが上図のように与えられているので（ｒ は円 Ｄ の半径です）, 実際にこれらを代入して計算してみましょう:
\[ b+c-d = (r-r_{\mathrm{C}}) + (r-r_{\mathrm{B}}) - (r_{\mathrm{B}}+r_{\mathrm{C}}) = 2(r-r_{\mathrm{B}}-r_{\mathrm{C}}) \]
より,
\begin{align} (\mathrm{A}'_x, \mathrm{A}'_y) &= \frac{r-r_{\mathrm{C}}}{2(r-r_{\mathrm{B}}-r_{\mathrm{C}})} \cdot (r-r_{\mathrm{B}}) (\cos \beta, \sin \beta) + \frac{r-r_{\mathrm{B}}}{2(r-r_{\mathrm{B}}-r_{\mathrm{C}})} \cdot (r-r_{\mathrm{C}}) (\cos \gamma, \sin \gamma) \\[0.5em] &= \frac{(r-r_{\mathrm{B}}) (r-r_{\mathrm{C}})}{2(r-r_{\mathrm{B}}-r_{\mathrm{C}})} (\cos \beta + \cos \gamma,\, \sin \beta + \sin \gamma),\\[0.5em] r_{\mathrm{A}'} &= \frac{(r-r_{\mathrm{B}}) (r-r_{\mathrm{C}})}{2(r-r_{\mathrm{B}}-r_{\mathrm{C}})} \left| \sin \theta \right|. \end{align}
余弦定理を用いて, 共通の因子 (ｒ-ｒＢ)(ｒ-ｒＣ) / 2(ｒ-ｒＢ-ｒＣ) を簡単にすることができます:
\[ (r_{\mathrm{B}} + r_{\mathrm{C}})^{2} = (r - r_{\mathrm{B}})^{2} + (r - r_{\mathrm{C}})^{2} - 2(r - r_{\mathrm{B}})(r - r_{\mathrm{C}}) \cos \theta, \]
\[ 2 r_{\mathrm{B}} r_{\mathrm{C}} = 2 r^{2} - 2 r r_{\mathrm{B}} - 2 r r_{\mathrm{C}} - 2(r - r_{\mathrm{B}})(r - r_{\mathrm{C}}) \cos \theta, \]
\[ r_{\mathrm{B}} r_{\mathrm{C}} = r^{2} - r r_{\mathrm{B}} - r r_{\mathrm{C}} - (r - r_{\mathrm{B}})(r - r_{\mathrm{C}}) \cos \theta, \]
\[ (r - r_{\mathrm{B}}) (r - r_{\mathrm{C}}) - (r^{2} - r r_{\mathrm{B}} - r r_{\mathrm{C}}) = (r^{2} - r r_{\mathrm{B}} - r r_{\mathrm{C}}) - (r - r_{\mathrm{B}})(r - r_{\mathrm{C}}) \cos \theta, \]
\[ (r - r_{\mathrm{B}}) (r - r_{\mathrm{C}}) (1 + \cos \theta) = 2r(r - r_{\mathrm{B}} - r_{\mathrm{C}}), \]
\[ \frac{(r - r_{\mathrm{B}}) (r - r_{\mathrm{C}})}{2(r - r_{\mathrm{B}} - r_{\mathrm{C}})} = \frac{r}{1 + \cos \theta}. \]
よって,
\begin{align} (\mathrm{A}'_x, \mathrm{A}'_y) &= \frac{r}{1 + \cos \theta} (\cos \beta + \cos \gamma,\, \sin \beta + \sin \gamma) = r \left( \frac{\cos \beta + \cos \gamma}{1 + \cos (\beta-\gamma)}, \frac{\sin \beta + \sin \gamma}{1 + \cos (\beta-\gamma)} \right), \\[0.5em] r_{\mathrm{A}'} &= \frac{r}{1 + \cos \theta} \left| \sin \theta \right| = r \, \left| \frac{\sin(\beta - \gamma)}{1 + \cos(\beta-\gamma)} \right| \end{align}
です.
文字を入れ換えると円 Ｂ’, Ｃ’ についての結果も得られ, これらをまとめると,
\[ (\mathrm{A}'_x, \mathrm{A}'_y) = r \left( \frac{\cos \beta + \cos \gamma}{1 + \cos (\beta-\gamma)}, \frac{\sin \beta + \sin \gamma}{1 + \cos (\beta-\gamma)} \right), \quad r_{\mathrm{A}'} = r \, \left| \frac{\sin(\beta - \gamma)}{1 + \cos(\beta-\gamma)} \right|, \]
\[ (\mathrm{B}'_x, \mathrm{B}'_y) = r \left( \frac{\cos \gamma + \cos \alpha}{1 + \cos (\gamma-\alpha)}, \frac{\sin \gamma + \sin \alpha}{1 + \cos (\gamma-\alpha)} \right), \quad r_{\mathrm{B}'} = r \, \left| \frac{\sin(\gamma - \alpha)}{1 + \cos(\gamma-\alpha)} \right|, \]
\[ (\mathrm{C}'_x, \mathrm{C}'_y) = r \left( \frac{\cos \alpha + \cos \beta}{1 + \cos (\alpha-\beta)}, \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{1 + \cos (\alpha-\beta)} \right), \quad r_{\mathrm{C}'} = r \, \left| \frac{\sin(\alpha - \beta)}{1 + \cos(\alpha-\beta)} \right| \]
となります.