反転円 Ｄ’
２点 Ｐ, Ｑ を通り, 円 Ｃ に直交する円を Ｄ’ とします（前々回述べたように, そのような円はただ１つだけ存在します）. 円 Ｄ’ は円 Ａ, Ｂ にも直交しています. 円 Ａ, Ｂ は反転円 Ｄ’ に関する反転によってそれぞれ自分自身に写るので, その共通部分上にいる点 Ｒ は, 反転後にもその共通部分上にいます. すなわち, 点 Ｒ は円 Ｄ’ に関する反転によって動きません. これより, 点 Ｒ が円 Ｄ’ 上の点であると分かります.
線分 ＡＢ, ＢＣ, ＣＡ は, それぞれ点 Ｒ, 点 Ｐ, 点 Ｑ で円 Ｄ’ に接します.
したがって, 円 Ｄ’ は三角形 ＡＢＣ の内接円です.
よって, その中心と半径は, 三角形 ＡＢＣ の面積を Ｓ とすると,
\begin{align} (D'_x, D'_y) &= \frac{a}{a+b+c} (A_x, A_y) + \frac{b}{a+b+c} (B_x, B_y) + \frac{c}{a+b+c} (C_x, C_y),\\[0.5em] r_{D'} &= \frac{2S}{a+b+c} \end{align}
により与えられます. 面積 Ｓ は,
\begin{align} S &= \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} B_x - A_x & B_y - A_y \\ C_x - A_x & C_y - A_y \\ \end{pmatrix} \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| (B_x - A_x)(C_y - A_y) - (B_y - A_y)(C_x - A_x) \right|, \end{align}
またはヘロンの公式
\[ S^{2} = s(s-a)(s-b)(s-c), \quad s = \frac{a+b+c}{2} \]
を用いて計算できます.