反転に関する準備が続きましたが, 今回から, アポロニアン・ガスケットの話に戻ります. 第０世代の円は既に描き終えていますので, 第１世代の円から始めましょう.
第１世代の円を描くには, 次の４つの円が必要となります.
円 Ａ’： 円 Ｂ, Ｃ, Ｄ に直交する円,
円 Ｂ’： 円 Ａ, Ｃ, Ｄ に直交する円,
円 Ｃ’： 円 Ａ, Ｂ, Ｄ に直交する円,
円 Ｄ’： 円 Ａ, Ｂ, Ｃ に直交する円.
円 Ｂ’： 円 Ａ, Ｃ, Ｄ に直交する円,
円 Ｃ’： 円 Ａ, Ｂ, Ｄ に直交する円,
円 Ｄ’： 円 Ａ, Ｂ, Ｃ に直交する円.
反転に関する私たちの知識があれば, これらの円を持ち出すことは自然でしょう. 例えば円 Ｄ’ は, 以下の推論から出てきます.
1. 円 Ｄ は円 Ａ, Ｂ, Ｃ に接している.
2. 円 Ｄ’ に関する反転は, 円 Ａ, Ｂ, Ｃ を動かさない.
3. 円 Ｄ’ による円 Ｄ の反転も円 Ａ, Ｂ, Ｃ に接している.
4. 円 Ｄ の反転は, （自分自身ではないと仮定すると）円 Ｄ１ である.
2. 円 Ｄ’ に関する反転は, 円 Ａ, Ｂ, Ｃ を動かさない.
3. 円 Ｄ’ による円 Ｄ の反転も円 Ａ, Ｂ, Ｃ に接している.
4. 円 Ｄ の反転は, （自分自身ではないと仮定すると）円 Ｄ１ である.
（前回述べた反転の２つの性質が使われています.）
私たちは, 「円 Ａ, Ｂ, Ｃ に接する円 Ｄ１」ではなく, 「円 Ａ, Ｂ, Ｃ に直交する円 Ｄ’」を計算します. 後者の計算の方が簡単だからです. （円 Ｄ１ を直接簡単に求める公式があるのですが, それを導くにはまた少し準備が必要になるため, ここでは触れないことにします.）
４つの反転円 Ａ’, Ｂ’, Ｃ’, Ｄ’ を求める具体的な計算は, 次回以降で行いたいと思います.