アポロニアン・ガスケットの描き方（７） ー 円の反転（２）

アポロニアン・ガスケットの描き方

等角性により, 円の反転に関して, 次の２つのことが成り立ちます.

  1. 互いに接する２円は, 反転によって互いに接する２円に写る.
  2. 反転円に直交する円は, 反転によって自分自身に写る.

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以下は, その理由についてです.

１ について

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２曲線 Ｃ _{1} と Ｃ _{2} が点 Ｐ において交わっているとします. この２曲線が点 Ｐ においてなす角とは, それぞれの接線 \ell_1 と \ell_2 が点 Ｐ においてなす角のことです（ \pi/２ 以下とすると, 一意的に定まります）.

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「２曲線 Ｃ _{1} と Ｃ _{2} が点 Ｐ において接する」というのは, 「点 Ｐ におけるそれぞれの接線が等しい」ということです. これは, 「２曲線 Ｃ _{1} と Ｃ _{2} のなす角が ０」と言い換えられます.

反転は２曲線のなす角を保存するので,「接する」という状況も保存します.

２ について

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円 Ｉ 上の１点 Ａ を通り, 点 Ａ において円 Ｉ に直交する円を考えます. そのような円の中心 Ｃ は, 点 Ａ における円 Ｉ の接線 \ell_A 上になければなりません.

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円 Ｉ 上の２点 Ａ, Ｂ を通り, 円 Ｉ に直交する円を考えます. そのような円の中心 Ｃ は, 接線 \ell_A と \ell_B の交点でなければなりません. また, 半径は ＣＡ（＝ ＣＢ）でなければなりません. したがって, 「円 Ｉ 上の２点 Ａ, Ｂ を通り, 円 Ｉ に直交する円」はただ１つだけ存在します.

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さて, 改めて反転円 Ｉ に直交する円 Ｃ を考え, その交点を Ａ, Ｂ とします. 円 Ｃ を反転させた円 Ｃ’ は, 反転の等角性により, 円 Ｉ と直交します（円 Ｉ は反転により動きません）. また, 円 Ｃ’ は２点 Ａ, Ｂ を通ります. 上での考察によれば, そのような円はただ１つしか存在しません. つまり, 円 Ｃ と円 Ｃ’ は同じ円です.

円 Ｃ は反転によって, 自分自身に写ります.