円円対応によれば, 反転は円を円または直線に写します.
本記事では, 左側の「反転円の中心 Ｉ を通らない場合」を考えます. 円 Ｃ の中心と半径から円 Ｃ’ の中心と半径を求めることが目標です.
まず,
\[ \overrightarrow{\mathrm{IQ'}} = \mathrm{IQ'} \cdot \frac{\overrightarrow{\mathrm{IQ}}}{\mathrm{IQ}} = \left( \frac{r_I}{\mathrm{IQ}} \right)^{2} \, \overrightarrow{\mathrm{IQ}} \]
\[ \left(\, \because \; \mathrm{IQ} \cdot \mathrm{IQ'} = r_I^{2} \,\right) \]
に注意しておきます.
円の中心が円の中心に写るわけではないので, 点 Ｃ’ は点 Ａ’ と点 Ｂ’ の中点として求めます.
\[ \overrightarrow{\mathrm{IA'}} = \left( \frac{r_I}{\mathrm{IA}} \right)^{2} \, \overrightarrow{\mathrm{IA}} = \left( \frac{r_I}{d-r} \right)^{2} \cdot \frac{d-r}{d} \, \overrightarrow{\mathrm{IC}} = \frac{r_I^{2}}{(d-r)d} \, \overrightarrow{\mathrm{IC}}, \]
\[ \overrightarrow{\mathrm{IB'}} = \left( \frac{r_I}{\mathrm{IB}} \right)^{2} \, \overrightarrow{\mathrm{IB}} = \left( \frac{r_I}{d+r} \right)^{2} \cdot \frac{d+r}{d} \, \overrightarrow{\mathrm{IC}} = \frac{r_I^{2}}{(d+r)d} \, \overrightarrow{\mathrm{IC}} \]
より,
\[ \overrightarrow{\mathrm{IC'}} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{\mathrm{IA'}} + \overrightarrow{\mathrm{IB'}} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{d-r} + \frac{1}{d+r} \right) \frac{r_I^{2}}{d} \, \overrightarrow{\mathrm{IC}} = \frac{r_I^{2}}{d^{2} - r^{2}} \, \overrightarrow{\mathrm{IC}}. \]
半径 ｒ’ については,
\[ \mathrm{IA'} = \frac{r_I^{2}}{(d-r)d} \mathrm{IC} = \frac{r_I^{2}}{d-r}, \]
\[ \mathrm{IB'} = \frac{r_I^{2}}{(d+r)d} \mathrm{IC} = \frac{r_I^{2}}{d+r} \]
より,
\[ r' = \frac{1}{2} (\mathrm{IA'} - \mathrm{IB'}) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{d-r} - \frac{1}{d+r} \right) \, r_I^{2} = \frac{r_I^{2}}{d^{2} - r^{2}} r.\]
ｄ < ｒ の場合は分けて考える必要がありますが, 計算はほとんど同じなので省略します. 結果は ｒ’ の符号が変わるだけです. 両者まとめて,
\[ \overrightarrow{\mathrm{IC'}} = \frac{r_I^{2}}{d^{2} - r^{2}} \, \overrightarrow{\mathrm{IC}}, \]
\[ r' = \left| \frac{r_I^{2}}{d^{2} - r^{2}} \right| \, r \]
と書くことができます.