Number Fields (Daniel A. Marcus)
第１章 練習１ 練習２ 練習３ 練習４ 練習５ 練習６ 練習７ 練習８ 練習９ 練習１０ 練習１１ 練習１２ 練習１３ 練習１４ 練習１５ 練習１６ 練習１７ 練習１８ 練習１９ 練習２０ 練習２１ 練習２２ 練習２３ 練習２４ 練習２５ 練習２６ 練習２７ 練習２…
\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \)\( f(x) \in K[x] \) は既約なので, 重根をもたない. \( f(x) \) の \( \C \) における根を, \( \a \), \( \b_1 \), \( \ldots \), \( \b_n \) \( (n \ge 0) \) とし, \[ …
\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\s}{\sigma_i} \newcommand{\sd}{\sigma_{i'}} \newcommand{\t}{\tau_j} \newcommand{\td}{\tau_{j'}} \)\( f(x) = b_0 + b_1 x + \cdots + b_{n-1} x^{n-1} + x^n \in R[x] \), \( n \ge 1 \) に対して, \begin{ali…
\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\s}{\sigma_i} \newcommand{\sd}{\sigma_{i'}} \newcommand{\t}{\tau_j} \newcommand{\td}{\tau_{j'}} \) \[ \s \t = \sd \td \] とする. \( \a \in L\) に対して, \[ \s \t (\a) = \sd \td (\a) \] であるが, \( \t…
\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \DeclareMathOperator{\tr}{tr} \)\( \a \in L \) とする. \( [L:K[\a]] = m \) とし, \( [K[\a]:K] = l \) とす…
\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\rt}{\sqrt{3}} \newcommand{\Zrt}{\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]} \newcommand{\form}{a^2 + 5 b^2} \new…
\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\rt}{\sqrt{-5}} \newcommand{\Zrt}{\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]} \newcommand{\form}{a^2 + 5 b^2} \newcommand{\elep}{1 + \sqrt{-5}} \newcommand{\elem}{1 - \sqrt{-5}} \newcommand{\elepm}{1 \pm \sqrt{-5}} \n…
\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\r}{\sqrt{2}} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\s}{\sigma} \)等式 \[ \left( 1 + \r \right) \left( -1 + \r \right) = 1 \] が成り立つので, \( 1 + \r \) は \( \Z[\…
\( m １． \( m \not\equiv 1 \pmod{4} \) のとき. \( \alpha \in \mathbb{A} \cap \mathbb{Q}[\sqrt{m}] \)とし, \[ \alpha = a + b \sqrt{m}, \quad a, b \in \mathbb{Z} \] と書く. このとき, \begin{align} \alpha \, \text{が単数} &\Longleftrightarro…
(a) 複素共役は可換群 \( \DeclareMathOperator{\Gal}{Gal} \Gal(\mathbb{Q}[\omega] / \mathbb{Q}) \) の元であるので, 任意の \( \sigma \in \Gal(\mathbb{Q}[\omega] / \mathbb{Q}) \) に対して, \[ \sigma(\overline{\alpha}) = \overline{\sigma(\alpha…
(a) \begin{align} f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = (x - \alpha_1) \cdots (x - \alpha_n) \end{align} であるとする. このとき, \[ a_r = (-1)^{n-r} \sum_{1 \le k_1 (b) \[ P_n = \left\{ x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 …
\[ r = m \, n \] とする. \( m \) の素因数分解を \[ m = 2^{a_0} \, p_1^{a_1} \, \cdots \, p_s^{a_s} , \quad a_i \ge 1 \] とし, \[ n = 2^{b_0} \, p_1^{b_1} \, \cdots \, p_s^{b_s} \, n' , \quad b_i \ge 0, \,\,\, (m, n') = 1 \] とする. このと…
\( \theta \) は 1 の原始 \( k \) 乗根なので, \( (h,k) = 1 \) をみたすある \( h \in \mathbb{Z} \) に対して, \[ \theta = e^{\frac{2 \pi i h}{k}} \] と書ける. \( (h,k) = 1 \) なので, \[ ha \equiv 1 \pmod{k} \] をみたす \( a \in \mathbb{Z} \) …
後で。
\( k \in \mathbb{Z}_m^{*} \) に対して, \[ \omega \mapsto \omega^k \] となる \( \mathbb{Q}[\omega] \) の自己同型を \( \sigma_k \) で表す. \( k \), \( l \in \mathbb{Z}_m^{*} \) に対して, \[ \sigma_k \sigma_l (\omega) = \sigma_k(\omega^l) = \…
\[ g = f^2 h, \quad h \in K[x] \] とする. このとき, \[ g' = 2fh + f^2 h' = f \left(2h + fh' \right). \] したがって, \[ f \mid g' \] である. \( \Box \)
次数に関する帰納法で示す. \( \deg f \le 1 \) のとき： このとき \( f(x) = c \), \( c \in \mathbb{Z}_p \) であり, \[ \left( f(x) \right)^p = c^p = c = f(x^p) \] が成り立つ. \( \deg f \ge 2 \) のとき： \( \deg f = n \) として, \[ f(x) = c x^n…
\[ R := \mathbb{Z}[a_0, \ldots, a_{n-1}] \] とおく. \( R \) の加法群は有限生成である（定理 2, 系 1 の証明参照）ので, その生成元を \[ b_1, \quad \ldots, \quad b_m \] とおく. 任意の \[ \beta \in \mathbb{Z}[a_0, \ldots, a_{n-1}, \alpha] \] は…
\[ 2r, \quad r^2 - m s^2 \in \mathbb{Z} \] とし, \begin{align} & 2r = k, \quad k \in \mathbb{Z} \\[0.5em] & s = \frac{l}{n}, \quad l, \, n \in \mathbb{Z}, \quad \left(l,n \right) = 1, \quad n > 0 \end{align} とする. このとき, \[ \frac{k^2}…
(a) \[ 1 + \sqrt{-3} \notin (2) \] であるから, \[ I \neq (2) \] である. また, \begin{align} I^2 &= \left(2, \, 1 + \sqrt{-3} \right) \cdot \left(2, \, 1 + \sqrt{-3} \right) \\[0.5em] &= \left(4, \, 2 + 2\sqrt{-3}, \, -2 + 2\sqrt{-3} \right…
(a) 数体 \( K \) が \( \mathbb{Q} \) 上次数２であるとする. \( K = \mathbb{Q}[\alpha] \) とし, \[ f(x) = a x^2 + b x + c \quad (a, b, c \in \mathbb{Z} ) \] を \( \alpha \) の最小多項式とする. \( f(\alpha) = 0 \) であるから, \[ \alpha = \fra…
(1) 単位元の存在： 単項イデアル全体のなすイデアル類を \( C_0 \) とおく. \( C \) をイデアル類とし, \( C \) に含まれるイデアル \( A \) をとる. \[ RA = A \] であるから, \[ C_0 C = C \] である. (2) 逆元の存在： \( C \) をイデアル類とし, \( C \…
(1) \[ \alpha A = (\beta), \quad \beta \in R \] とする. \( \beta \in \alpha A \) であるから, \[ \beta = \alpha a_0, \quad \exists a_0 \in A. \] 任意の \( a \in A \) に対して, ある \( r \in R \) が存在して, \[ \alpha a = r \beta. \] ゆえに,…
\( A \), \( B \) を \( R \) のイデアルとする. (1) \( A \) と \( B \) が同じイデアル類に属するとする. このとき, ある 0 でない \( \alpha \), \( \beta \in R \) が存在して, \[ \alpha A = \beta B. \] \( R \) は整域であり, \( \alpha \neq 0 \), \…
(1) 積を計算すると, \begin{align} &1 + \omega + \omega^{2} + \omega^{3} + \omega^{4} + 3 \omega^{5} + 3 \omega^{6} \\[0.3em] &+ 3 \omega^{7} + \omega^{8} + 3 \omega^{9} + 3 \omega^{10} + 7 \omega^{11} + 3 \omega^{12} \\[0.3em] &+ 3 \omega^…
\[ x + y \omega \equiv y + x \omega \pmod{p} \] より, \[ x \equiv y \pmod{p}. \quad \Box \]
１． \( 2 \le k \le p-2 \) とする. このとき, \[ 1 \le k - 1 < k \le p-2 \] である. \[ x + \left( y \omega - y \omega^{k - 1} - x \omega^k \right) \equiv 0 \pmod{p} \] より, \[ p \mid x \] であるが, これは矛盾である. ２． \( k = p-1 \) とす…
練習 25 より, ある \( a \in \mathbb{Z} \) が存在して, \[ \alpha^p \equiv a \pmod{p}. \] したがって, \[ x + y \omega \equiv u \alpha^p \equiv u a \pmod{p} \] である. 共役をとると, \[ x + y \omega^{-1} \equiv \overline{u} a \pmod{p}. \] 単数…
\[ \alpha = a_0 + a_1 \omega + \cdots + a_{p-2} \omega^{p-2} \quad (a_i \in \mathbb{Z}) \] とする. 練習 24 より, \begin{align} \alpha^p &= (a_0 + a_1 \omega + \cdots + a_{p-2} \omega^{p-2})^p \\ & \equiv a_0^p + (a_1 \omega)^p + \cdots + (…
(1) \[ (\beta + \gamma)^p = \sum_{i=0}^p \binom{p}{i} \beta^i \gamma^{p-i} \equiv \beta^p + \gamma^p \pmod{p}. \quad \Box \] (2) \[ (\beta_1 + \cdots + \beta_r)^p = \beta_1^p + \cdots + \beta_r^p \pmod{p} \] を \( r \) に関する帰納法で示す…
