Number Fields (Daniel A. Marcus)
第1章 練習1 練習2 練習3 練習4 練習5 練習6 練習7 練習8 練習9 練習10 練習11 練習12 練習13 練習14 練習15 練習16 練習17 練習18 練習19 練習20 練習21 練習22 練習23 練習24 練習25 練習26 練習27 練習2…
\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \)\( f(x) \in K[x] \) は既約なので, 重根をもたない. \( f(x) \) の \( \C \) における根を, \( \a \), \( \b_1 \), \( \ldots \), \( \b_n \) \( (n \ge 0) \) とし, \[ …
\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\s}{\sigma_i} \newcommand{\sd}{\sigma_{i'}} \newcommand{\t}{\tau_j} \newcommand{\td}{\tau_{j'}} \)\( f(x) = b_0 + b_1 x + \cdots + b_{n-1} x^{n-1} + x^n \in R[x] \), \( n \ge 1 \) に対して, \begin{ali…
\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\s}{\sigma_i} \newcommand{\sd}{\sigma_{i'}} \newcommand{\t}{\tau_j} \newcommand{\td}{\tau_{j'}} \) \[ \s \t = \sd \td \] とする. \( \a \in L\) に対して, \[ \s \t (\a) = \sd \td (\a) \] であるが, \( \t…
\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \DeclareMathOperator{\tr}{tr} \)\( \a \in L \) とする. \( [L:K[\a]] = m \) とし, \( [K[\a]:K] = l \) とす…
\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\rt}{\sqrt{3}} \newcommand{\Zrt}{\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]} \newcommand{\form}{a^2 + 5 b^2} \new…
\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\rt}{\sqrt{-5}} \newcommand{\Zrt}{\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]} \newcommand{\form}{a^2 + 5 b^2} \newcommand{\elep}{1 + \sqrt{-5}} \newcommand{\elem}{1 - \sqrt{-5}} \newcommand{\elepm}{1 \pm \sqrt{-5}} \n…
\( \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\r}{\sqrt{2}} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\s}{\sigma} \)等式 \[ \left( 1 + \r \right) \left( -1 + \r \right) = 1 \] が成り立つので, \( 1 + \r \) は \( \Z[\…
\( m 1. \( m \not\equiv 1 \pmod{4} \) のとき. \( \alpha \in \mathbb{A} \cap \mathbb{Q}[\sqrt{m}] \)とし, \[ \alpha = a + b \sqrt{m}, \quad a, b \in \mathbb{Z} \] と書く. このとき, \begin{align} \alpha \, \text{が単数} &\Longleftrightarro…
(a) 複素共役は可換群 \( \DeclareMathOperator{\Gal}{Gal} \Gal(\mathbb{Q}[\omega] / \mathbb{Q}) \) の元であるので, 任意の \( \sigma \in \Gal(\mathbb{Q}[\omega] / \mathbb{Q}) \) に対して, \[ \sigma(\overline{\alpha}) = \overline{\sigma(\alpha…
(a) \begin{align} f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = (x - \alpha_1) \cdots (x - \alpha_n) \end{align} であるとする. このとき, \[ a_r = (-1)^{n-r} \sum_{1 \le k_1 (b) \[ P_n = \left\{ x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 …
\[ r = m \, n \] とする. \( m \) の素因数分解を \[ m = 2^{a_0} \, p_1^{a_1} \, \cdots \, p_s^{a_s} , \quad a_i \ge 1 \] とし, \[ n = 2^{b_0} \, p_1^{b_1} \, \cdots \, p_s^{b_s} \, n' , \quad b_i \ge 0, \,\,\, (m, n') = 1 \] とする. このと…
\( \theta \) は 1 の原始 \( k \) 乗根なので, \( (h,k) = 1 \) をみたすある \( h \in \mathbb{Z} \) に対して, \[ \theta = e^{\frac{2 \pi i h}{k}} \] と書ける. \( (h,k) = 1 \) なので, \[ ha \equiv 1 \pmod{k} \] をみたす \( a \in \mathbb{Z} \) …
後で。
\( k \in \mathbb{Z}_m^{*} \) に対して, \[ \omega \mapsto \omega^k \] となる \( \mathbb{Q}[\omega] \) の自己同型を \( \sigma_k \) で表す. \( k \), \( l \in \mathbb{Z}_m^{*} \) に対して, \[ \sigma_k \sigma_l (\omega) = \sigma_k(\omega^l) = \…
\[ g = f^2 h, \quad h \in K[x] \] とする. このとき, \[ g' = 2fh + f^2 h' = f \left(2h + fh' \right). \] したがって, \[ f \mid g' \] である. \( \Box \)
次数に関する帰納法で示す. \( \deg f \le 1 \) のとき: このとき \( f(x) = c \), \( c \in \mathbb{Z}_p \) であり, \[ \left( f(x) \right)^p = c^p = c = f(x^p) \] が成り立つ. \( \deg f \ge 2 \) のとき: \( \deg f = n \) として, \[ f(x) = c x^n…
\[ R := \mathbb{Z}[a_0, \ldots, a_{n-1}] \] とおく. \( R \) の加法群は有限生成である(定理 2, 系 1 の証明参照)ので, その生成元を \[ b_1, \quad \ldots, \quad b_m \] とおく. 任意の \[ \beta \in \mathbb{Z}[a_0, \ldots, a_{n-1}, \alpha] \] は…
\[ 2r, \quad r^2 - m s^2 \in \mathbb{Z} \] とし, \begin{align} & 2r = k, \quad k \in \mathbb{Z} \\[0.5em] & s = \frac{l}{n}, \quad l, \, n \in \mathbb{Z}, \quad \left(l,n \right) = 1, \quad n > 0 \end{align} とする. このとき, \[ \frac{k^2}…
(a) \[ 1 + \sqrt{-3} \notin (2) \] であるから, \[ I \neq (2) \] である. また, \begin{align} I^2 &= \left(2, \, 1 + \sqrt{-3} \right) \cdot \left(2, \, 1 + \sqrt{-3} \right) \\[0.5em] &= \left(4, \, 2 + 2\sqrt{-3}, \, -2 + 2\sqrt{-3} \right…
(a) 数体 \( K \) が \( \mathbb{Q} \) 上次数2であるとする. \( K = \mathbb{Q}[\alpha] \) とし, \[ f(x) = a x^2 + b x + c \quad (a, b, c \in \mathbb{Z} ) \] を \( \alpha \) の最小多項式とする. \( f(\alpha) = 0 \) であるから, \[ \alpha = \fra…
(1) 単位元の存在: 単項イデアル全体のなすイデアル類を \( C_0 \) とおく. \( C \) をイデアル類とし, \( C \) に含まれるイデアル \( A \) をとる. \[ RA = A \] であるから, \[ C_0 C = C \] である. (2) 逆元の存在: \( C \) をイデアル類とし, \( C \…
(1) \[ \alpha A = (\beta), \quad \beta \in R \] とする. \( \beta \in \alpha A \) であるから, \[ \beta = \alpha a_0, \quad \exists a_0 \in A. \] 任意の \( a \in A \) に対して, ある \( r \in R \) が存在して, \[ \alpha a = r \beta. \] ゆえに,…
\( A \), \( B \) を \( R \) のイデアルとする. (1) \( A \) と \( B \) が同じイデアル類に属するとする. このとき, ある 0 でない \( \alpha \), \( \beta \in R \) が存在して, \[ \alpha A = \beta B. \] \( R \) は整域であり, \( \alpha \neq 0 \), \…
(1) 積を計算すると, \begin{align} &1 + \omega + \omega^{2} + \omega^{3} + \omega^{4} + 3 \omega^{5} + 3 \omega^{6} \\[0.3em] &+ 3 \omega^{7} + \omega^{8} + 3 \omega^{9} + 3 \omega^{10} + 7 \omega^{11} + 3 \omega^{12} \\[0.3em] &+ 3 \omega^…
\[ x + y \omega \equiv y + x \omega \pmod{p} \] より, \[ x \equiv y \pmod{p}. \quad \Box \]
1. \( 2 \le k \le p-2 \) とする. このとき, \[ 1 \le k - 1 < k \le p-2 \] である. \[ x + \left( y \omega - y \omega^{k - 1} - x \omega^k \right) \equiv 0 \pmod{p} \] より, \[ p \mid x \] であるが, これは矛盾である. 2. \( k = p-1 \) とす…
練習 25 より, ある \( a \in \mathbb{Z} \) が存在して, \[ \alpha^p \equiv a \pmod{p}. \] したがって, \[ x + y \omega \equiv u \alpha^p \equiv u a \pmod{p} \] である. 共役をとると, \[ x + y \omega^{-1} \equiv \overline{u} a \pmod{p}. \] 単数…
\[ \alpha = a_0 + a_1 \omega + \cdots + a_{p-2} \omega^{p-2} \quad (a_i \in \mathbb{Z}) \] とする. 練習 24 より, \begin{align} \alpha^p &= (a_0 + a_1 \omega + \cdots + a_{p-2} \omega^{p-2})^p \\ & \equiv a_0^p + (a_1 \omega)^p + \cdots + (…
(1) \[ (\beta + \gamma)^p = \sum_{i=0}^p \binom{p}{i} \beta^i \gamma^{p-i} \equiv \beta^p + \gamma^p \pmod{p}. \quad \Box \] (2) \[ (\beta_1 + \cdots + \beta_r)^p = \beta_1^p + \cdots + \beta_r^p \pmod{p} \] を \( r \) に関する帰納法で示す…