ベールのカテゴリー定理(3)

\( \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarrow \,} \newcommand{\imp}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\Cap}{\bigcap} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\…

ベールのカテゴリー定理(2)

\( \DeclareMathOperator{\Int}{Int} \newcommand{\olO}{\overline{O}} \newcommand{\olY}{\overline{Y}} \newcommand{\olZ}{\overline{Z}} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarrow \,} \newcommand{\imp}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\emset}{\emptyset}…

ベールのカテゴリー定理(1)

\( \DeclareMathOperator{\Int}{Int} \newcommand{\olA}{\overline{A}} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarrow \,} \newcommand{\imp}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\lrto}{\leftrightarrow} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcommand{\emset}{\emptyset} …

完備距離空間の縮小閉集合列

\( \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\Cap}{\bigcap} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{…

正則空間

\( \newcommand{\olU}{\overline{U}} \newcommand{\aset}{\{ a \}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\equ}{\Leftrightarrow} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\ssne}{\subsetneq} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\uto}[1]{\overse…

可算集合上のすべての \( \sigma \) 代数

\( \newcommand{\NN}{\mathbb{N}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\scA}{\mathscr{A}} \newcommand{\scD}{\mathscr{D}} \newcommand{\scS}{\mathscr{S}} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\aset}{\{ a \}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \n…

部分集合族の定める分割

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\scA}{\mathscr{A}} \newcommand{\scD}{\mathscr{D}} \newcommand{\scS}{\mathscr{S}} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\aset}{\{ a \}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\Cap}{\bigcap} \new…

分割が定める \( \sigma \) 代数

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\scA}{\mathscr{A}} \newcommand{\scD}{\mathscr{D}} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\aset}{\{ a \}} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\imp}{\Rightarrow} \newcommand{\ss}{\subset} \newcomma…

\(n\) 次元射影空間の射影変換は \(n+2\) 点の行き先で決まる(3)

\( \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\scF}{\mathscr{F}} \newcommand{\scf}{\text{𝒻} \,\,} \newcommand{\tilF}{\tilde{F}} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\i}{\iota} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\p}{\pi} \newcomman…

\(n\) 次元射影空間の射影変換は \(n+2\) 点の行き先で決まる(2)

\( \newcommand{\calF}{\mathcal{F}} \newcommand{\calG}{\mathcal{G}} \newcommand{\tilF}{\tilde{F}} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\i}{\iota} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\ph}{\va…

疎集合

\( \newcommand{\olA}{\overline{A}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarrow \,} \newcommand{\fol}{\, \Leftarrow \,} \newcommand{\imp}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\ol}[1]{\overline{…

開部分集合における稠密性

\( \newcommand{\olA}{\overline{A}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarrow \,} \newcommand{\fol}{\, \Leftarrow \,} \newcommand{\imp}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\ol}[1]{\overline{…

\(n\) 次元射影空間の射影変換は \(n+2\) 点の行き先で決まる(1)

\( \newcommand{\calF}{\mathcal{F}} \newcommand{\calG}{\mathcal{G}} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\i}{\iota} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\phinv}{\varphi^{-1}} \newcommand{\p…

オイラー関数の計算

\( \newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\piinv}{\pi^{-1}} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newco…

環準同型が誘導する単元群の間の群準同型

\( \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\con}{\equiv} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\iso}{\, \overset{\sim}{\to} \,} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcomma…

第一同型定理

\( \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\con}{\equiv} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\iso}{\, \overset{\sim}{\to} \,} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcomma…

中国の剰余定理

\( \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\con}{\equiv} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\iso}{\, \overset{\sim}{\to} \,} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcomma…

イデアルの共通部分と積

\( \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\II}{\mathbb{I}} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcomma…

交わらないコンパクト集合と閉集合の間の距離は正

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\r}{\rho} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\Cup}[2]{\bigcup_{#1}^{#2}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newco…

点と集合の距離、集合と集合の距離

\( \newcommand{\aset}{\{ a \}} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\Cup}[2]{\bigcup_{#1}^{#2}} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\} } \) 1. 距離空間 \( (X, d) \) の空でない部…

可換環の可逆元と極大イデアル

\( \newcommand{\calM}{\mathcal{M}} \newcommand{\r}{\rho} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\Cup}[2]{\bigcup_{#1}^{#2}} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarr…

有限可換環の非可逆元と零因子

\( \newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\r}{\rho} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarrow \,} \newcommand{\imp}{\, \Rightarrow \,}…

射影空間と射影変換

\( \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\calA}{\mathcal{A}} \newcommand{\calB}{\mathcal{B}} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ps}{\psi} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \c…

部分空間の逆像の次元

\( \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\surj}{\twoheadrightarrow} \newcommand{\zrset}{\{ 0 \}} \newcommand{\usurj}[1]{\overset{#1}{\twoheadrightarrow}} \DeclareMathOperator{\Ker}…

ベクトル空間の次元定理

\( \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarrow \,} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\…

テイラーの定理(5)

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\tol}{\leftarrow} \newcommand{\der}[2]{\frac{d #1}{d #2}} \) 1. テイラーの定理の誤差部分を剰余項と言いますが, この剰余…

テイラーの定理(4)

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \) 1. 前回, ロルの定理を用いてテイラーの定理を証明しました. \( n \) を \( 0 \) 以上の整数とする. (1)\( f \) を閉区間 \( [a,b] \) 上の \( C^n \) 級関数とし, そ…

テイラーの定理(3)

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \) 1. 前回, 平均値の定理を用いてテイラーの定理を証明しました. \( n \) を \( 0 \) 以上の整数とする. (1)\( f \) を閉区間 \( [a,b] \) 上の \( C^n \) 級関数とし, …

テイラーの定理(2)

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \) 1. テイラーの定理を証明します. テイラーの定理とは次の命題でした. (1)\( f \) を閉区間 \( [a,b] \) 上の \( C^n \) 級関数とし, そ…

テイラーの定理(1)

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\cd}{\cdots} \) 1. \( n \) 次多項式関数 \[ p(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cd + c_n x^n \] を考えます. \( k \) 回(\( 0 \le k \le n \))微分して \( x = 0 \) を代入すると,…