\(n\) 次元射影空間の射影変換は \(n+2\) 点の行き先で決まる(3)

\( \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\scF}{\mathscr{F}} \newcommand{\scf}{\text{𝒻} \,\,} \newcommand{\tilF}{\tilde{F}} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\i}{\iota} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\phinv}{\varphi^{-1}} \newcommand{\phiinv}{\phi^{-1}} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarrow \,} \newcommand{\ex}{\exists} \newcommand{\fr}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{\hto}{\hookrightarrow} \newcommand{\iso}{\overset{\sim}{\to}} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcommand{\opl}{\oplus} \newcommand{\Opl}{\bigoplus} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\ptm}[1]{\phantom{#1}} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}} \newcommand{\sm}{\setminus} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\tod}{\downarrow} \newcommand{\tou}{\uparrow} \newcommand{\thf}{\therefore} \newcommand{\surj}{\twoheadrightarrow} \newcommand{\uhto}[1]{\overset{#1}{\hookrightarrow}} \newcommand{\usurj}[1]{\overset{#1}{\twoheadrightarrow}} \newcommand{\uto}[1]{\xrightarrow{#1}} \newcommand{\zrset}{\{ 0 \}} \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} \DeclareMathOperator{\Im}{Im} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \)

1. 以下, ベクトル空間はすべて, ある固定された体 \( K \) 上のものである.

2. 用語と記号:

\(\color{red}{ \diamondsuit } \, \) 「直線」とは, 1次元部分空間のことである.

\(\color{red}{ \diamondsuit } \, \) \( n \) 次元ベクトル空間 \( V \) の \( n+1 \) 本の直線が「一般の位置にある」とは, その中のどの \( n \) 本も \( V \) を生成することである.

\(\color{red}{ \diamondsuit } \, \) ベクトル空間 \( V \) の直線全体を \( \PP(V) \) で表す.

\(\color{red}{ \diamondsuit } \, \) ベクトル空間の間の単射線形写像 \( F \col V \to W \) は, 写像 \[ \PP(V) \to \PP(W), \quad L \mto F(L) \] を誘導する. \( \PP(V) \) から \( \PP(W) \) への写像のうち, このようにして得られるものを, 射影線形写像という.

3. 我々が示したかった命題は次である.

\( n+1 \) 次元ベクトル空間 \( V \) および \( W \) のそれぞれに, 一般の位置にある \( n+2 \) 本の直線 \begin{align} V_1, \, \ld, \, V_{n+2} &\in \PP(V), \\[0.8em] W_1, \, \ld, \, W_{n+2} &\in \PP(W) \end{align} が与えられているとする. このとき, 射影線形写像 \[ f \col \PP(V) \to \PP(W) \] で, \[ f(V_i) = W_i \quad (1 \le \all i \le n+2) \] をみたすものがただ1つ存在する.

4. 証明: \begin{align} \scF &:= \brc{\text{単射線形写像 \( V \to W \)} }, \\[0.8em] \scf &:= \brc{\text{射影線形写像 \( \PP(V) \to \PP(W) \)} } \end{align} と置く.

写像 \[ \PP \col \scF \to \scf, \quad F \mto \text{\( F \) が誘導する射影線形写像} \] 全射である.

\begin{align} \scF' &:= \set{ F \in \scF }{ F(V_i) = W_i \,\,\, (1 \le i \le n+2)}, \\[0.8em] \scf' &:= \set{ f \in \scf }{ f(V_i) = W_i \,\,\, (1 \le i \le n+2)} \end{align} と置く.

前回示したことから, \[ \scF' = \set{ \text{線形写像 \( F \col V \to W \)} }{F(V_i) \ss W_i \,\,\, (1 \le i \le n+2)} \sm \zrset \] であることが分かる.

この等式と前々回示したことから, 次の事実が従う:

「\( \scF' \) の任意の2要素はゼロでないスカラー倍だけ異なる.」

これから導かれる次の事実が, 証明の要点である: \( \PP(\scF') \) は1点集合.

1. さて, \( \scf' \) が1点集合であることを示したい.

2. これは, 次の2つの事実から従う: \begin{align} &\PP(\scF') = \scf' , \\[0.8em] &\text{\( \PP(\scF') \) は1点集合}. \end{align} 後者は示されているので, 前者を示せばよい.

3. そのためには, \( \scF' = \PP^{-1}(\scf') \) を示せばよい(\( \PP \) が全射であるから).

4. そのためには, \( F \in \scF \) に対して, \[ F \in \scF' \equ \PP(F) \in \scf' \] であることを示せばよい.

5. これは, \begin{align} F \in \scF' &\equ F(V_i) = W_i \quad (1 \le \all i \le n+2), \\[0.8em] \PP(F) \in \scf' &\equ \bigl( \PP(F) \bigr) (V_i) = W_i \quad (1 \le \all i \le n+2) \end{align} より分かる(\( \bigl( \PP(F) \bigr) (V_i) = F(V_i) \) であるから). //