疎集合

\( \newcommand{\olA}{\overline{A}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarrow \,} \newcommand{\fol}{\, \Leftarrow \,} \newcommand{\imp}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\sm}{\setminus} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\uequ}[1]{\, \overset{#1}{\Leftrightarrow} \,} \newcommand{\zrset}{\{ 0 \}} \DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} \DeclareMathOperator{\Int}{Int} \)

1. \( X \) を位相空間とし, \( A \) をその部分集合とする.

2. \( A \) が \( X \) においてであるとは: 通常, 次のどちらかで定義される.

(1)\( \Int \prn{\olA} = \emset \quad \uequ{補集合をとる} \quad \ol{\Ext A} = X \).

(2)任意の空でない開集合 \( U \ss X \) に対して, \( A \) は \( U \) で稠密でない.

(注意: \( A \) が \( U \) において稠密 \( \uequ{\text{def}} A \cap U \) が \( U \) において稠密.)

3. 英語では "nowhere dense", すなわち, 「稠密な場所がない」という. これは条件(2)を表した言葉である.

4. 2つの条件が同値であることを確かめたい: \begin{align} (2) &\equ \text{任意の空でない開集合 \( U \ss X \) に対して, \( U \not\ss \olA \)} \\[0.8em] &\equ \text{\( \olA \) に含まれる \( X \) の開集合は空集合のみ} \\[0.8em] &\equ (1). \end{align}

最初の同値は, 「開部分集合における稠密性」による.