開部分集合における稠密性

\( \newcommand{\olA}{\overline{A}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarrow \,} \newcommand{\fol}{\, \Leftarrow \,} \newcommand{\imp}{\, \Rightarrow \,} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\sm}{\setminus} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\zrset}{\{ 0 \}} \)

1.

\( X \) を位相空間とする. \( A \) を \( X \) の部分集合とし, \( U \) を \( X \) の開部分集合とする.

\( A \) が \( U \) において稠密であるとは, \( A \cap U \) が \( U \) において稠密であることである.

次のことを示したい: \[ \text{\( A \) が \( U \) において稠密} \equ U \ss \olA. \]

2.

注意: \( U \) が開集合という仮定は必要である. 例えば, \begin{align} A &:= \RR \sm \zrset, \\[0.8em] U &:= \zrset \end{align} と置くとき, \[ U \ss \olA = \RR \] であるが, \[ A \cap U = \emset \] は \( U \) において稠密でなく, したがって, \( A \) は \( U \) において稠密でない.

3.

さて, 証明であるが, まず, 次のことに注意する: ある集合の部分集合 \( R \), \( S \), \( T \) に対して, \[ R \cap S \ss T \equ R \ss T \cup S^c. \]

\( \imp \) は両辺と \( S^c \) の和をとることにより, \( \fol \) は両辺と \( S \) の共通部分をとることにより示される.

4.

証明: \( A \cap U \) が \( U \) で稠密であることは, \[ U \ss \ol{A \cap U} \] であることと同値である(「稠密部分集合」に説明がある).

したがって, 示すべき命題は, \[ U \ss \ol{A \cap U} \equ U \ss \olA \] である.

\( \imp \) は明らかなので, \( \fol \) を示せばよいが, そのためには, \[ \olA \cap U \ss \ol{A \cap U} \] を示せばよい. 注意しておいたことにより, これは, \[ \olA \ss \ol{A \cap U} \cup U^c \] と同値である.

この右辺は閉集合であるので, \[ A \ss \ol{A \cap U} \cup U^c \] を示せばよいが, これは明らかに成り立っている. //