オイラー関数の計算

\( \newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\piinv}{\pi^{-1}} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\con}{\equiv} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\iso}{\, \overset{\sim}{\to} \,} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\ptm}[1]{\phantom{#1}} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\surj}{\twoheadrightarrow} \newcommand{\thf}{\therefore} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\tod}{\downarrow} \newcommand{\tour}{\nearrow} \)

1. \( p^n \)(\( p: \) 素数, \( n \ge 1 \))でのオイラー関数の値, すなわち, \[ \# \prn{ \ZZ / p^n \ZZ}^{\tm} \] が次のようにして求まる:

1.全射環準同型 \[ f \col \ZZ / p^n \ZZ \surj \ZZ / p \ZZ \] は全射群準同型 \[ f^{\tm } \col \prn{\ZZ / p^n \ZZ}^{\tm} \surj \prn{\ZZ / p \ZZ}^{\tm} \] を誘導する(前回の話より). したがって, \( \ker f^{\tm} \) の要素数が分かればよい.

2.\( \finv(\, [1] \,) \) の要素数と \( \ker f^{\tm} \) の要素数は等しいが, 前者は分かる.

以下でより詳しい解説を行う.

2. まず, \( n = 1 \) のときは, \[ \# \prn{ \ZZ / p \ZZ}^{\tm} = p-1 \] である. なぜなら, \( p \ZZ \) は \( \ZZ \) の極大イデアルであり, それ故, \( \ZZ / p \ZZ \) は体であるからである.

3. \( a \in \ZZ \) に対して, \begin{align} &(1 - pa) \brc{1 + (pa) + (pa)^2 + \cd + (pa)^{n-1}} \\[0.8em] &= 1 - (pa)^n \\[0.8em] &\con 1 \quad \bmod p^n. \end{align} したがって, 射影 \[ \p_{p^n} \col \ZZ \surj \ZZ / p^n \ZZ \] を考えるとき, \[ \p_{p^n} (1 + p \ZZ) \ss \prn{\ZZ / p^n \ZZ}^{\tm} \] である.

4. 可換図式

\( \displaystyle \ptm{qqqqq} \ZZ \quad \xrightarrow{\qquad \p_p \qquad} \quad \ZZ / p \ZZ \)
\( \p_{p^n} \) \( \xrightarrow{\ptm{aaaaa}} \) \( \ptm{} \) \( \xrightarrow{\ptm{aaaaaaaaaaaaaa}} \) \( f \)
\( \displaystyle \ptm{qqq} \ZZ / p^n \ZZ \)

を考える. \[ \piinv_{p^n} \prn{\, \finv(\, [1] \,) \,} = \piinv_p (\, [1] \,) = 1 + p\ZZ \] であるが, \( \p_{p^n} \) は全射であるので, \[ \finv(\, [1] \,) = \p_{p^n}(\, 1 + p\ZZ \,) \ss \prn{\ZZ / p^n \ZZ}^{\tm}. \] また, \[ \# \prn{ \ZZ / p^n \ZZ } = \# \prn{ \ker f } \c \# \prn{\ZZ / p\ZZ } \] より, \[ \# \finv(\, [1] \,) = \# \prn{ \ker f } = p^{n-1}. \]

5. 全射環準同型 \[ f \col \ZZ / p^n \ZZ \surj \ZZ / p\ZZ \] から誘導される全射群準同型 \[ f^{\tm} \col \prn{ \ZZ / p^n \ZZ }^{\tm} \surj \prn{ \ZZ / p\ZZ }^{\tm} \] を考える. その核は, \begin{align} &\ker f^{\tm} = \finv(\, [1] \,) \cap \prn{ \ZZ / p^n \ZZ }^{\tm} = \finv(\, [1] \,). \\[0.8em] \thf \,\,\, &\# \prn{\ker f^{\tm}} = \# \finv(\, [1] \,) = p^{n-1}. \end{align} したがって, \[ \# \prn{ \ZZ / p^n \ZZ }^{\tm} = \# \prn{ \ker f^{\tm} } \c \# \prn{ \ZZ / p\ZZ }^{\tm} = p^{n-1} (p-1) \] である. //