環準同型が誘導する単元群の間の群準同型

\( \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\con}{\equiv} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\iso}{\, \overset{\sim}{\to} \,} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcommand{\ptm}[1]{\phantom{#1}} \newcommand{\surj}{\twoheadrightarrow} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\tod}{\downarrow} \newcommand{\tour}{\nearrow} \)

1. 以下, (単位元をもつ)可換環 \( R \) に対して, その可逆元全体が乗法に関してなす群を \( R^{\tm} \) と書く. これは, \( R \) の単元群と言われる.

2. 可換環の間の環準同型 \[ f \col R \to S \] は, \( R \) の可逆元を \( S \) の可逆元に写すので, それぞれの単元群の間に群準同型 \[ f^{\tm} \col R^{\tm} \to S^{\tm} \] が引き起こされる.

3. この群準同型に関して, ここで見た議論が面白かったので紹介する.

4.

可換環の間の全射環準同型 \[ f \col R \surj S \] を考える. \( R \) の極大イデアルのうち \( \ker f \) を含まないものが有限個であるならば, 誘導される群準同型 \[ f^{\tm} \col R^{\tm} \to S^{\tm} \] も全射である.

5. 証明: \( R \) の極大イデアルのうち, \( \ker f \) を含まないものを \[ M_1, \quad \ld, \quad M_n \] とする. このとき, \[ \ker f, \quad M_1, \quad \ld, \quad M_n \] のどの2つも互いに素である.

\( v \in S^{\tm} \) とし, \( f(a) = v \) である \( a \in R \) をとる.

中国の剰余定理により, \[ \left\{ \begin{align} x &\con a \quad \bmod \ker f \\[0.8em] x &\con 1 \quad \bmod M_1 \\[0.8em] & \cd \\[0.8em] x &\con 1 \quad \bmod M_n \end{align} \right. \] をみたす \( x \in R \) が存在する. このとき, 次が成り立つ:

(1) \( f(x) = v \).

(2) \( x \) は \( M_1 \), \( \ld \), \( M_n \) に含まれない.

(3) \( x \) は \( \ker f \) を含むどの極大イデアルにも含まれない. (なぜなら, そうでないとすると, \( f(x) = v \) が \( S \) のある極大イデアルに含まれてしまうから. イデアルの対応定理を用いた.)

(2)と(3)より \( x \in R^{\tm} \) であるので(ここを参照), (1)により \( f^{\tm} \) の全射性が示された. //

6. 系:

有限可換環 \( R \) から可換環 \( S \) への全射環準同型 \[ f \col R \surj S \] が誘導する単元群の間の群準同型 \[ f^{\tm} \col R^{\tm} \to S^{\tm} \] は全射である.