第一同型定理

\( \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\con}{\equiv} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\iso}{\, \overset{\sim}{\to} \,} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcommand{\ptm}[1]{\phantom{#1}} \newcommand{\surj}{\twoheadrightarrow} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\tod}{\downarrow} \newcommand{\tour}{\nearrow} \)

1. \( R \) を(単位元をもつ)可換環とし, \( I \) をそのイデアルとします. \( R \) からある可換環への(環)準同型のうち, \( I \) がゼロになる, すなわち, 核が \( I \) を含むものを考えます.

2. そのような準同型の中で, いわゆる, 普遍性と呼ばれる性質をもつもの \( q \col R \to Q \) に着目し, \( I \) に関する \( R \) の商と呼びます:

\( I \) をゼロにする任意の準同型 \( f \col R \to S \) に対して, 図式

\( \displaystyle \ptm{qqq} R \quad \xrightarrow{\qquad f \qquad} \quad S \)
\( q \) \( \xrightarrow{\ptm{aaaaa}} \) \( \ptm{} \) \( \xrightarrow{\ptm{aaaaaaaaaaaaaa}} \) \( \ph \)
\( \displaystyle \ptm{qqq} Q \)

を可換にする準同型 \( \ph \col Q \to S \) がただ1つ存在する.

3. \( I \) に関する \( R \) の商は, 存在すれば, 次の意味で一意的です:

\( q \col R \to Q \) と \( q' \col R \to Q' \) が \( R \) の \( I \) に関する商であるとき, 図式

\( \displaystyle \ptm{qqq} R \quad \xrightarrow{\qquad q' \qquad} \quad Q' \)
\( q \) \( \xrightarrow{\ptm{aaaaa}} \) \( \ptm{} \) \( \xrightarrow{\ptm{aaaaaaaaaaaaaa}} \) \( \ph \)
\( \displaystyle \ptm{qqq} Q \)

を可換にする同型 \( \ph \col Q \iso Q' \) がただ1つ存在する.

証明しませんが, この一意性は普遍性からすぐに従う事実です.

4. \( I \) に関する \( R \) の商の存在は, 次の事実から従います:

可換環の間の全射準同型 \( q \col R \surj Q \) は, \( \ker q \) に関する \( R \) の商である. (証明略. 簡単です.)

これにより, 射影 \( R \surj R/I \) が \( I \) に関する \( R \) の商と分かるわけです.

5. さて, \[ f \col R \surj S \] を可換環の間の全射準同型とします. これは \( \ker f \) に関する \( R \) の商ですが, 射影 \[ \p \col R \surj R / \ker f \] もまた \( \ker f \) に関する \( R \) の商なので, 商の一意性により, 図式

\( \displaystyle \ptm{qqq} R \quad \xrightarrow{\qquad f \qquad} \quad S \)
\( \p \) \( \xrightarrow{\ptm{aaaaa}} \) \( \ptm{} \) \( \xrightarrow{\ptm{aaaaaaaaaaaaaa}} \) \( \ph \)
\( \displaystyle \ptm{q} R/\ker f \)

可換環にする同型 \[ R / \ker f \iso S \] がただ1つ存在します.

6. 上の事実は,(可換環に対する)第一同型定理と呼ばれています.