点と集合の距離、集合と集合の距離

\( \newcommand{\aset}{\{ a \}} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\Cup}[2]{\bigcup_{#1}^{#2}} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\} } \)

1. 距離空間 \( (X, d) \) の空でない部分集合 \( A \) と \( B \) の間の距離を, \[ d(A,B) := \inf \set{d(a,b)}{a \in A,\, b \in B} \] により定義する.

点と集合の間の距離は, その特別な場合として定義される: \( a \in X \) に対して, \begin{align} d(a,B) &:= d(\aset, B) \\[0.8em] &= \inf \set{d(a,b)}{b \in B}. \end{align}

2. 次の等式を示したい: \[ d(A,B) = \inf_{a \in A} d(a,B). \]

3. 上の等式は次の主張より従う: \( S \), \( S_i \) (\( i \in I \)) が実数の空でない部分集合であり, \[ S = \Cup{i \in I}{} S_i \] であるとき, \[ \inf S = \inf_{i \in I} \, (\inf S_i). \tag{\( * \)} \]

4. 実際, \[ \set{d(a,b)}{a \in A, \, b \in B} = \Cup{a \in A}{} \set{d(a,b)}{b \in B} \] から, 求める等式が得られる.

5. \( (*) \) の証明:

1. \( \inf S \le \inf_{i \in I} \, (\inf S_i) \): 任意の \( i \in I \) に対して \[ \inf S \le \inf S_i \] であるので.

2. \( \inf_{i \in I} \, (\inf S_i) \le \inf S \): \( x \in S \) を任意に選ぶ. このとき, ある \( i \in I \) に対して \( x \in S_i \) であり, \[ \inf_{i \in I} \, (\inf S_i) \le \inf S_i \le x \] であるので. //