ベクトル空間の次元定理

\( \newcommand{\p}{\pi} \newcommand{\ph}{\varphi} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\equ}{\, \Leftrightarrow \,} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\hto}{\hookrightarrow} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcommand{\opl}{\oplus} \newcommand{\sime}{\simeq} \newcommand{\surj}{\twoheadrightarrow} \newcommand{\tod}{\downarrow} \newcommand{\tol}{\leftarrow} \newcommand{\zrset}{\{ 0 \}} \newcommand{\dto}[1]{\xrightarrow[#1]{}} \newcommand{\usurj}[1]{\overset{#1}{\surj}} \newcommand{\uto}[1]{\xrightarrow{#1}} \newcommand{\dtol}[1]{\xleftarrow[#1]{}} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}} \DeclareMathOperator{\id}{id} \DeclareMathOperator{\Im}{Im} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \)

1. 以下, 体 \( K \) を1つ固定し, 体 \( K \) 上のベクトル空間のことを単にベクトル空間と言う.

2. 標題の次元定理とは, 次の主張のことである.

有限次元ベクトル空間の短完全列 \[ 0 \to U \to V \to W \to 0 \] があるとき, \[ \dim U + \dim W = \dim V. \]

証明は, この定理の系を述べた後に行う.

3. 系.

有限次元ベクトル空間の間の線形写像 \[ f \col V \to W \] があるとき, \[ \dim (\Ker f) + \dim (\Im f) = \dim V. \]

証明: 短完全列 \[ \Ker f \hto V \usurj{f} \Im f \] を考えればよい. //

4. 系.

\( U \) が有限次元ベクトル空間 \( V \) の部分空間であるとき, \[ \dim (V/U) = \dim V - \dim U. \]

証明: 短完全列 \[ U \hto V \surj V/U \] を考えればよい. //

5. 次元定理の証明:

1. ベクトル空間の短完全列 \[ 0 \to U \uto{f} V \uto{g} W \to 0 \] を考える.

次元定理は次の2つの事実から従う:

(1)\( V \sime U \opl W \).

(2)有限直和の次元は各成分の次元の和.

2.(1)の証明: \( w_1 \), \( \ld \), \( w_l \) を \( W \) の基底とする. \( g \) は全射であるので, \[ g(v_1) = w_1, \quad \ld, \quad g(v_l) = w_l \] となる \( v_1 \), \( \ld \), \( v_l \in V \) が存在する.

線形写像 \[ h \col W \to V, \quad w_i \mto v_i \quad (1 \le i \le l) \] を考える: \[ 0 \, \to \, U \, \uto{f} \, V \, \overset{g}{\underset{h}{\rightleftarrows}} \, W \, \to \, 0. \] このとき, \[ g \cc h = \id_W \] である.

線形写像 \[ \ph \col U \opl W \to V, \quad (u,w) \mto f(u) + h(w) \] が同型であることを示したい.

単射であるか? \[ f(u) + h(w) = 0 \] に \( g \) を作用させると \( w = 0 \) が得られ, これから \( u = 0 \) も従う. したがって, 単射である.

全射であるか? \( v \in V \) とし, \( w := g(v) \in W \) とする. \[ v - h(w) \in \Ker g = \Im f \] であるので, \[ f(u) = v - h(w) \quad \equ \quad f(u) + h(w) = v \] となる \( u \in U \) が存在する. したがって, 全射である. //

3.(2)の証明: 各成分の基底を直和へ埋め込んだもの全体が直和の基底となるから. //

4. 以上で次元定理が証明された. //