平均値の定理の応用(1): 微分してゼロになる関数は定数である

\( \newcommand{a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \)

1. 平均値の定理の応用として, 次の事実を示します.

\( f \) を \( (a,b) \) 上の微分可能な関数とする. このとき, 任意の \( x \in (a,b) \) に対して \( f'(x) = 0 \) ならば, \( f \) は \( (a,b) \) 上で定数である.

2. なぜなら: \( \a < \b \) である \( \a \), \( \b \in (a,b) \) をとる. 平均値の定理より, \( c \in (\a, \b) \) が存在して, \[ \frac{f(\a) - f(\b)}{\a - \b} = f'(c) = 0. \quad \therefore f(\a) = f(\b). \] これは, \( (a,b) \) 内の任意の2点 \( \a \), \( \b \) に対して, \( f(\a) = f(\b) \) であることを示している(\( \a = \b \) のときは自明であるので). \( \a \in (a,b) \) を固定して \( \b \in (a,b) \) を動かすと, \( f \) が定数であると分かる. //

3. 積分を使っても証明できます: \( \a < \b \) である \( \a \), \( \b \in (a,b) \) をとると, 微分積分学の基本定理より, \[ f(\b) - f(\a) = \int_{\a}^{\b} 0 \, dx = 0. \quad \therefore f(\a) = f(\b). \] これは, \( (a,b) \) 内の任意の2点 \( \a \), \( \b \) に対して, \( f(\a) = f(\b) \) であることを示している. \( \a \in (a,b) \) を固定して \( \b \in (a,b) \) を動かすと, \( f \) が定数であると分かる. //