ロルの定理

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\d}{\delta} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\imp}{\,\,\, \Rightarrow \,\,\,} \newcommand{\ab}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}} \)

1.ロルの定理」と呼ばれる次の定理を証明する.

区間 \( [a,b] \) 上の連続関数 \( f \) が \( (a,b) \) において微分可能であるとする. 端点での値が等しい, すなわち \( f(a) = f(b) \) であるとき, ある \( c \in (a,b) \) が存在して, \[ f'(c) = 0 \] である.

1. まず, 補題から.

\( f \) を閉区間 \( [a,b] \) 上の関数とし, \( c \in (a,b) \) で微分可能であるとする. このとき, \( f'(c) \ne 0 \) ならば, \( f(c) \) は \( f \) の最大値でも最小値でもない.

2. 証明: 任意の \( \e > 0 \) に対して, ある \( \d > 0 \) が存在して, \begin{align} 0 < \ab{x - c} < \d \imp &\ab{\frac{f(x) - f(c)}{x - c} - f'(c)} < \e, \\[0.8em] & \therefore \, f'(c) - \e < \frac{f(x) - f(c)}{x - c} < f'(c) + \e \end{align} である.

3. \( f'(c) > 0 \) のとき, \( \e > 0 \) を十分小さくとっておけば, \[ 0 < \ab{x - c} < \d \imp 0 < \frac{f(x) - f(c)}{x - c}. \] したがって, \begin{align} 0 < x - c < \d &\imp f(x) - f(c) > 0, \\[0.8em] -\d < x - c < 0 &\imp f(x) - f(c) < 0. \end{align} これは \( f(c) \) が最大値でも最小値でもないことを示している.

4. \( f'(c) < 0 \) のとき, \( \e > 0 \) を十分小さくとっておけば, \[ 0 < \ab{x - c} < \d \imp \frac{f(x) - f(c)}{x - c} < 0. \] したがって, \begin{align} -\d < x - c < 0 &\imp f(x) - f(c) > 0, \\[0.8em] 0 < x- c < \d &\imp f(x) - f(c) < 0. \end{align} これは \( f(c) \) が最大値でも最小値でもないことを示している. //

1. ロルの定理の証明を述べる.

2. \( f \) はある \( c \in [a,b] \) で最大値をとり, ある \( d \in [a,b] \) で最小値をとる(最大値の定理). \( c \) と \( d \) がともに端点であれば, \( f \) が端点でとる値を \( y \) として, \[ y = f(d) \le f(x) \le f(c) = y, \quad \forall x \in [a,b]. \] すなわち, \( f \) は恒等的に \( y \) に等しく, 定理は成り立つ.

3. 少なくともどちらか一方が端点でない場合を考える. 補題より, \( c \) が端点でなければ \( f'(c) = 0 \) であり, \( d \) が端点でなければ \( f'(d) = 0 \) である. どちらの場合にも定理は成り立っている. //