\( \mathbb{R} \) のコンパクト部分集合は、最大値および最小値をもつ

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\olA}{\overline{A}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}} \)

1. 次のことの証明を2つ述べる: \( \RR \) の空でないコンパクト部分集合は, 最大値および最小値をもつ.

2. 証明:

\( A \) を \( \RR \) の空でないコンパクト部分集合とすると, \( A \) は空でない有界閉集合である. \( A \) は空でない有界集合であるので, その上限および下限を \( \RR \) 内にもつ. それらを \( u \) および \( \ell \) とする. \( u \) および \( \ell \) は \( A \) の触点であるが, \( A \) は閉集合であるので, それらは \( A \) に含まれる: \[ u , \, \ell \in \olA = A. \] したがって, これらはそれぞれ \( A \) の最大値および最小値である. //

3. 次の証明は上限および下限の存在を使わない.

証明:

\( A \) を \( \RR \) の空でないコンパクト部分集合とし, 最大値をもたないと仮定する. このとき, 空でない開区間の族 \[ \set{(-\oo, a)}{a \in A} \] は \( A \) を被覆する. コンパクト性より, 有限個の \[ a_1,\, \ld,\, a_n \in A \quad (n \ge 1) \] が存在して, \( A \) は \[ (-\oo, a_1), \, \ld, \, (-\oo, a_n) \] で被覆される. \( a_i \) が \( a_1 \), \( \ld \), \( a_n \) の中で最大であるとすると, \( A \) は \[ (-\oo, a_i) \] で被覆される. これは, 仮定に反して, \( a_i \) が \( A \) の最大値であることを意味する. よって, \( A \) は最大値をもたなければならない. \( A \) が最小値をもつことも同様である. //