勉☆強☆し☆な☆い

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最大値の定理

\( \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \)

1. 定理.

コンパクト空間上の実数値連続関数は最大値および最小値をもつ.

2. 証明.

コンパクト空間から位相空間への連続写像があるとき, その像はコンパクトである. したがって, 今の場合, 像は \( \RR \) のコンパクト集合である. \( \RR \) のコンパクト集合は最大値および最小値をもつので, 定理は示された. //

3. 系.

\( \RR^n \) の有界閉集合上の連続関数は最大値および最小値をもつ.

4. 系.

\( \RR \) の有界区間上の連続関数は最大値および最小値をもつ.