勉☆強☆し☆な☆い

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シンプソンの公式の誤差

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\aeq}{\fallingdotseq} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\lg}{\lessgtr} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brk}[1]{\left[ #1 \right]} \newcommand{\ab}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\nm}[1]{\left\| #1 \right\|_{\infty}} \)

1. シンプソンの近似式 \[ \int_a^b f(x) \, dx \, \, \aeq \,\, \brk{f(a) + 4 f(c) + f(b)} \, \frac{h}{6} \] の誤差評価を行います.

2. ここで, \[ c := \frac{a+b}{2}, \quad h := b - a \] とおいています.

3. また, 以下では, シンプソンの近似式の右辺を \( S(f) \) で表します.

4. 次の誤差評価が成り立ちます.

区間 \( [a, b] \) 上の \( C^4 \) 級関数 \( f(x) \) に対して, \[ \ab{ \int_a^b f(x) \, dx - S(f) } \,\, \le \,\, \prn{ \max_{x \in [a,b]} f^{(4)}(x) } \, \frac{h^5}{6!} . \]

1. \( f(x) \) を中点 \( x = c \) でテイラー展開します: \( x \in [a,b] \) に対して,

\begin{align} &f(x) \\ &= f(c) + \frac{f'(c)}{1!} (x - c) + \frac{f''(c)}{2!} (x - c)^2 + \frac{f'''(c)}{3!} (x - c)^3 + \frac{f^{(4)}(t_x)}{4!} (x - c)^4. \end{align}

ここで, \( t_x \) は \( [a,b] \) 内のある数です.

2. テイラー展開の両辺を積分します: 奇数次の項は消えるので, \begin{align} \int_a^b f(x) \,dx &= f(c) h + \frac{f''(c)}{3!} \brk{ (x-c)^{3} }_a^b + R_1 \\[0.8em] &= f(c) h + \frac{f''(c)}{3!} \brk{ \prn{\frac{h}{2}}^{3} - \prn{- \frac{h}{2}}^{3} } + R_1 \\[0.8em] &= f(c) h + \frac{f''(c)}{3!} \c \frac{h^3}{2^2} + R_1 \\[0.8em] &= f(c) h + \rec{24} f''(c) h^3 + R_1. \end{align} ここで, \[ R_1 := \int_a^b \frac{f^{(4)}(t_x)}{4!} (x - c)^4 \, dx \] とおきました.

3. テイラー展開の式に \( x = a \) と \( x = b \) を代入します: \begin{align} &f(a) \\ &= f(c) + \frac{f'(c)}{1!} \prn{-\frac{h}{2}} + \frac{f''(c)}{2!} \prn{-\frac{h}{2}}^2 + \frac{f'''(c)}{3!} \prn{-\frac{h}{2}}^3 + \frac{f^{(4)}(t_a)}{4!} \prn{-\frac{h}{2}}^4, \\[0.8em] &f(b) \\ &= f(c) + \frac{f'(c)}{1!} \prn{\frac{h}{2}} + \frac{f''(c)}{2!} \prn{\frac{h}{2}}^2 + \frac{f'''(c)}{3!} \prn{\frac{h}{2}}^3 + \frac{f^{(4)}(t_b)}{4!} \prn{\frac{h}{2}}^4. \end{align}

\( f(a) \) と \( f(b) \) の和をとると, 奇数次の項が消えます: \begin{align} f(a) + f(b) &= 2f(c) + 2 \, \frac{f''(c)}{2!} \prn{\frac{h}{2}}^2 + \frac{f^{(4)}(t_a) + f^{(4)}(t_b)}{4!} \prn{\frac{h}{2}}^4 \\[0.8em] &= 2 f(c) + \rec{4} f''(c) h^2 + \frac{f^{(4)}(t_a) + f^{(4)}(t_b)}{4!} \prn{\frac{h}{2}}^4 . \end{align}

両辺を \( h \) 倍します: \[ \brk{ f(a) + f(b) } h = 2 f(c) h + \rec{4} f''(c) h^3 + R_2. \] ここで, \[ R_2 := \frac{f^{(4)}(t_a) + f^{(4)}(t_b)}{4!} \c \frac{h^5}{2^4} \] とおきました.

4. 2つの式 \begin{align} \int_a^b f(x) \,dx &= f(c) h + \rec{24} f''(c) h^3 + R_1, \\[0.8em] \brk{ f(a) + f(b) } h &= 2 f(c) h + \rec{4} f''(c) h^3 + R_2 \end{align} を得ましたが, これらから2階微分に関する項を消すことができます: \begin{align} \int_a^b f(x) \,dx - \brk{ f(a) + f(b) } \frac{h}{6} &= \frac{4}{6} f(c) h + \prn{ R_1 - \frac{R_2}{6} }. \\[0.8em] \therefore \, \int_a^b f(x) \,dx - S(f) &= R_1 - \frac{R_2}{6} . \end{align}

5. 誤差を評価します: \begin{align} R_1 &= \int_a^b \frac{f^{(4)}(t_x)}{4!} (x - c)^4 \, dx, \\[0.8em] R_2 &= \frac{f^{(4)}(t_a) + f^{(4)}(t_b)}{4!} \c \frac{h^5}{2^4} \end{align} であったので, \( f^{(4)}(x) \) の \( [a,b] \) での最大値を \( M \) として, \begin{align} \ab{R_1} &\le \int_a^b \ab{ \frac{f^{(4)}(t_x)}{4!} (x - c)^4 } \, dx \\[0.8em] &\le \frac{M}{4!} \int_a^b (x-c)^4 \, dx \\[0.8em] &= \frac{M}{5!} \brk{(x - c)^5}_a^b = \frac{M}{5!} \prn{ \frac{h}{2} }^5 \tm 2 = \frac{M h^5}{5! \c 2^4}, \\[1.5em] \ab{R_2} &\le \frac{2M}{4!} \c \frac{h^5}{2^4} = \frac{Mh^5}{4! \c 2^3}. \end{align} したがって, \begin{align} \ab{ R_1 - \frac{R_2}{6} } &\le \frac{Mh^5}{5! \c 2^4} + \frac{Mh^5}{4! \c 2^3 \c 6} \\[0.8em] &= \prn{\rec{5} + \rec{3}} \frac{Mh^5}{4! \c 2^4} = \frac{8}{5 \c 3} \tm \frac{Mh^5}{4! \c 2^4} = \frac{Mh^5}{6!}. \end{align} 求める結果が得られました. //

1. \( f(x) \) として3次関数 \( p(x) \) をとると,

\( p^{(4)}(x) \) は恒等的にゼロ

であるので, シンプソンの近似式の誤差はゼロです. したがって, この場合は等式 \[ \int_a^b p(x) \, dx = \brk{p(a) + 4p(c) + p(b)} \frac{h}{6} \] が成り立ちます.

以前示したことの自然な証明が得られました.