シンプソンの公式

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\aeq}{\fallingdotseq} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brk}[1]{\left[ #1 \right]} \)

1. \( f(x) \) を \( [a,b] \) 上定義された関数とし, \[ h := b - a, \quad c = \frac{a+b}{2} \] と置きます.

2. \( f(x) \) の定積分の近似値を求める「シンプソンの公式」 \[ \int_a^b f(x) \, dx \aeq \brk{f(a) + 4 f(c) + f(b)} \, \frac{h}{6} \] は, 2次以下の多項式 \( p(x) \) に対する等式 \[ \int_a^b p(x) \, dx = \brk{p(a) + 4 p(c) + p(b)} \, \frac{h}{6} \] から導かれるのでした(二次関数の定積分: シンプソンの公式と 1/6 公式).

3. この等式の証明について述べていなかったので, ここで述べたいと思います.

1. まず, \( p(x) \) を \( a \), \( c \), \( b \) に関するラグランジュ基底多項式を用いて表します: \[ p(x) = p(a) L_a(x) + p(c) L_c(x) + p(b) L_b(x). \tag{\( * \)} \]

2. \( L_a(x) \), \( L_c(x) \), \( L_b(x) \) がラグランジュ基底多項式で, それぞれ, \begin{align} L_a(x) &:= \frac{(x - c)(x - b)}{(a - c)(a - b)} = \frac{2}{h^2} (x - c)(x - b), \\[0.8em] L_c(x) &:= \frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)} = -\frac{4}{h^2} (x - a)(x - b), \\[0.8em] L_b(x) &:= \frac{(x - a)(x - c)}{(b - a)(b - c)} = \frac{2}{h^2} (x - a)(x - c) \end{align} と定義されています.

3. \( (*) \) の両辺を \( a \) から \( b \) まで積分します: \begin{align} &\int_a^b p(x) \, dx \\[0.8em] &= p(a) \int_a^b L_a(x) \, dx + p(c) \int_a^b L_c(x) \, dx + p(b) \int_a^b L_b(x) \, dx . \end{align} ラグランジュ基底多項式の具体的な表示を代入して, \begin{align} \int_a^b p(x) \, dx = &p(a) \c \frac{2}{h^2} \int_a^b (x-c)(x-b) \, dx \tag{1} \\[0.8em] - \, &p(c) \c \frac{4}{h^2} \int_a^b (x-a)(x-b) \, dx \tag{2} \\[0.8em] + \, &p(b) \c \frac{2}{h^2} \int_a^b (x-a)(x-c) \, dx . \tag{3} \end{align}

4. 「1/6 公式」「5/6 公式」を用いて, 右辺の3つの積分を計算します.

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\( \displaystyle (1) \quad \int_a^b (x-c)(x-b) \, dx = \prn{\frac{5}{6} - \frac{1}{6}} \prn{\frac{h}{2}}^3 = \frac{4}{6} \tm \frac{h^3}{8} = \frac{h^3}{12}. \)

\( \displaystyle (2) \quad \int_a^b (x-a)(x-b) \, dx = - \frac{h^3}{6} . \)

\( \displaystyle (3) \quad \int_a^b (x-a)(x-c) \, dx = \prn{\frac{5}{6} - \frac{1}{6}} \prn{\frac{h}{2}}^3 = \frac{4}{6} \tm \frac{h^3}{8} = \frac{h^3}{12}. \)

5. これより, \begin{align} \int_a^b p(x) \, dx &= \prn{ p(a) \tm \frac{2}{h^2} \tm \frac{h^3}{12} } + \prn{ p(c) \tm \frac{4}{h^2} \tm \frac{h^3}{6} } + \prn{ p(b) \tm \frac{2}{h^2} \tm \frac{h^3}{12} } \\[0.8em] &= \prn{ p(a) \tm \frac{h}{6} } + \prn{ 4 p(c) \tm \frac{h}{6} } + \prn{ p(b) \tm \frac{h}{6} } \\[0.8em] &= [p(a) + 4p(c) + p(b)] \, \frac{h}{6}. \end{align} 求める式が得られました. //