因数定理

\( \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \)

1. 以下の話で出てくる数はすべて実数です.

2. 多項式に関して, 「因数定理」と呼ばれる定理があります:

\( 1 \) 次以上の多項式 \( f(x) \) が実数 \( a \) を根にもつとき, 次数の1つ低い多項式 \( q(x) \) が存在して, \[ f(x) = (x - a) q(x) \] と書ける.

3. この定理は, 次の「除法の原理」から従います:

\( f(x) \) と \( g(x) \) を多項式とし, \( g(x) \ne 0 \) とする. このとき, \[ f(x) = q(x) g(x) + r(x), \quad \deg r(x) < \deg g(x) \] をみたす多項式 \( q(x) \), \( r(x) \) が一意的に存在する.

1. 除法の原理を用いずに, 直接証明することもできます.

2. まず, 次の等式に注意します: \( n \) 次多項式 \( S_{n}(x) \) を \[ S_{n}(x) := x^{n} + x^{n-1} a + \cd + x a^{n-1} + a^{n} \quad (n \ge 0) \] で定義するとき(\( S_0(x) = 1 \) です), \[ x^n - a^n = (x - a) S_{n-1}(x) \quad (n \ge 1). \]

3. 多項式 \( f(x) \) を \[ f(x) = c_0 x^n + c_1 x^{n-1} + \cd + c_{n -1} x + c_n, \quad c_0 \ne 0 \] と表して, \( f(x) - f(a) \) を次のように計算します: \begin{align} &f(x) - f(a) \\[0.8em] &= c_0 \prn{x^n - a^n} + c_1 \prn{x^{n-1} - a^{n-1}} + \cd + c_{n -1} \prn{x - a} + c_n \prn{1 - 1} \\[0.8em] &= c_0 (x-a) S_{n-1}(x) + c_1 (x - a) S_{n-2}(x) + \cd + c_{n -1} (x - a) S_0(x) \\[0.8em] &= (x - a) \brc{c_0 S_{n-1}(x) + c_1 S_{n-2}(x) + \cd + c_{n-1} S_0(x)}. \end{align}

4. \( f(a) = 0 \) であるので, 因数定理が示されました. //