勉☆強☆し☆な☆い

タイトルテスト中

ラグランジュ補間(2)

\( \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\vd}{\vdots} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcommand{\uto}[1]{\overset{#1}{\longrightarrow}} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \)

1. 前回の続き.

2. 次の命題の証明を行っていました.

実直線上に相異なる \( n + 1 \) 点 \[ x_0, \, x_1, \, \ld, \, x_n \] が与えられているとする. その上でとる値 \[ y_0, \, y_1, \, \ld, \, y_n \in \bbR \] を任意に指定するとき, 高々 \( n \) 次の実係数多項式の中に, そのような値をとるものがただ1つ存在する.

3. 残っていた一意性の証明を与えます.

4. (一意性の証明) これは次の補題から従います:

\( n \ge 0 \) とする. \( n \) 次多項式の根は, 高々 \( n \) 個である.

(注意:定数 \( 0 \) の次数は \( 0 \) ではありません. ここでは, \( \deg 0 = -\oo \) とおいておきます.)

なぜなら, 2つの多項式 \( f(x) \) と \( g(x) \) があったとし, \( f(x) - g(x) \ne 0 \) とすると, その根は高々 \( n \) 個となり \( x_0 \), \( x_1 \), \( \ld \), \( x_n \) でゼロになることと矛盾するからです.

5. 補題自身は, 次の「因数定理」から(帰納法で)従います:

\( 1 \) 次以上の多項式 \( f(x) \) が \( x = a \) を根にもてば, 1つ次数の低い多項式 \( g(x) \) が存在して, \[ f(x) = (x - a) g(x). \]

1. 線形代数を用いると, 次のように議論できます.

2. 高々 \( n \) 次の実係数多項式全体がなす \( n+1 \) 次元実ベクトル空間を \( V \) とおきます.

3. 2つの線形写像 \begin{align} &F \col V \to \bbR^{n+1}, \quad f(x) \mto \begin{pmatrix} f(x_0) \\ \vd \\ f(x_n) \end{pmatrix}, \\[0.8em] &G \col \bbR^{n+1} \to V, \quad \begin{pmatrix} y_0 \\ \vd \\ y_n \end{pmatrix} \mto y_0 L_{x_0}(x) + \cd + y_n L_{x_n}(x) \end{align} を考えます. \( L_{x_i}(x) \) は前回定義したラグランジュ基底多項式です.

4. このとき, すぐに分かるように, 合成 \[ \bbR^{n+1} \uto{G} V \uto{F} \bbR^{n+1} \] は恒等写像です. したがって, \( F \) は全射です.

5. 次元の等しいベクトル空間の間の全射単射でなければなりません. したがって, \( F \) は単射です. これが示したい事実でした. //