勉☆強☆し☆な☆い

タイトルテスト中

連結部分集合の閉包もまた連結である

\( \newcommand{\olY}{\overline{Y}} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\qup}{\sqcup} \)

1. \( X \) を位相空間とし, \( Y \) をその連結な部分集合とする. このとき, \( Y \) の閉包 \( \olY \) も連結である.

2. 証明:

\( \olY \) が連結でないと仮定する. このとき, \( X \) の開集合 \( U \) と \( V \) が存在して, \[ \olY = (\olY \cap U) \qup (\olY \cap V), \quad \olY \cap U \ne \emset, \quad \olY \cap V \ne \emset \] となる.

\( x \in \olY \cap U\) をとる. \( x \) は \( Y \) の触点であるので, \( x \) の開近傍である \( U \) は \( Y \) の点を含む. したがって, \[ Y \cap U \ne \emset \] である. 同様にして, \[ Y \cap V \ne \emset \] も得る.

(次のように議論してもよい. \( Y \) は \( \olY \) において稠密であるので, \( \olY \) の空でない開集合 \( \olY \cap U \) は \( Y \) の点を含む. よって, \( Y \cap U \ne \emset \).)

さて, \[ \olY = (\olY \cap U) \qup (\olY \cap V) \] の両辺と \( Y \) の共通部分をとると, \[ Y = (Y \cap U) \qup (Y \cap V). \] \( Y \cap U \ne \emset \) かつ \( Y \cap V \ne \emset \) であるから, これは \( Y \) の連結性に矛盾している.

\( \olY \) が連結でないという仮定より矛盾が生じたので, \( \olY \) は連結でなければならない. //