二次関数の定積分: 5/6 公式

\( \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \)

1. \( a < b \) を実数とし, \[ h := b - a \] とおきます.

2. 「1/6 公式」とは次の等式でした: \[ \int_a^b (x-a)(x-b) \, dx = - \rec{6} h^3 \]

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3. 本記事では, 次の「5/6 公式」を示します: \begin{align} \int_{a-h}^a (x-a)(x-b) \, dx &= \frac{5}{6} h^3, \\[0.8em] \int_b^{b+h} (x-a)(x-b) \, dx &= \frac{5}{6} h^3. \end{align}

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4. 対称性より左辺の2つの積分は等しいので, 下側だけ示します.

5. 平行移動により, \[ \int_b^{b+h} (x-a)(x-b) \, dx = \int_0^h (x + h) x \, dx \] であることに注意します.

6. 素直に積分を計算してもよいですが, ここでは, \begin{align} - \int_0^h (x - h) x \, dx + \int_{0}^{h} (x + h) x \, dx = 2h \int_0^h x dx = h^3 \end{align} と計算します.

7. 左辺第1項は 1/6 公式より \[ - \int_0^h (x - h) x \, dx = \rec{6} h^3 \] なので, 欲しい積分が \[ \int_{0}^{h} (x + h) x \, dx = \frac{5}{6} h^3 \] と求まります.