勉☆強☆し☆な☆い

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二次関数の定積分: 1/6 公式(2)

\( \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\aeq}{\fallingdotseq} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brk}[1]{\left[ #1 \right]} \)

1. 放物線により作られる図形の面積に関して, 次のような法則が知られています:

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放物線を \( y = \a x^2 \) \( (\a > 0) \) として計算してみると,

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\begin{align} S_1 &= \int_0^r \a x^2 \, dx = \a \brk{\frac{x^3}{3}}_0^r = \rec{3} \a r^3, \\[0.8em] S_2 &= r \c \a r^2 - S_1 = \a r^3 - \rec{3} \a r^3 = \frac{2}{3} \a r^3 \end{align} であり, 確かに成り立っています.

2. この法則を用いると, 以前述べた「1/6 公式」 \[ \int_a^b (x - a)(x - b) \, dx= - \frac{(b - a)^3}{6} \] が簡単に導かれます.

3.

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求めたいのは図の斜線部の面積 \( 4 S_1 \) ですが, \[ S_1 = \rec{3} \prn{\frac{h}{2}}^3 \] であるので, \[ 4 S_1 = 4 \c \rec{3} \prn{\frac{h}{2}}^3 = \frac{h^3}{6}. \] したがって, 1/6 公式 \[ \int_a^b (x - a)(x - b) \, dx= - \frac{h^3}{6} \] が成り立ちます.