勉☆強☆し☆な☆い

タイトルテスト中

二次関数の定積分: シンプソンの公式と 1/6 公式

\( \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\c}{\cdot} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\aeq}{\fallingdotseq} \newcommand{\rec}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brk}[1]{\left[ #1 \right]} \)

1.積分の近似値を求める式の1つに, 「シンプソンの公式」と呼ばれるものがあります: \( f(x) \) が \( [a,b] \) 上の関数であるとき, \[ \int_a^b f(x) \, dx \quad \text{を} \quad \brk{ f(a) + 4 f(c) + f(b) } \, \frac{h}{6} \] で近似する. ここで, \[ h := b - a, \quad c := \frac{a + b}{2} \] と置きました. \( h \) は区間 \( [a,b] \) の長さで, \( c \) は \( a \) と \( b \) の中点です.

2. 2次以下の多項式 \( p(x) \) に対して, 等式 \[ \int_a^b p(x) \, dx = \brk{p(a) + 4 p(c) + p(b)} \, \frac{h}{6} \tag{\(*\)} \] の成り立つことが示されます. 近似式 \[ \int_a^b f(x) \, dx \aeq \brk{f(a) + 4 f(c) + f(b)} \, \frac{h}{6} \tag{\( ** \)} \] は, \( (*) \) において \( p(x) \) を \( f(x) \) に置き換えたものとなっています.

3. 何故, \( (**) \) の右辺は, 左辺の近似値と考えられるのでしょうか? それを見るために, 条件 \[ p(a) = f(a), \quad p(c) = f(c), \quad p(b) = f(b) \] をみたす高々2次の多項式 \( p(x) \) を考えます. このような高々2次の多項式 \( p(x) \) はただ1つ存在しますが, 適当な条件のもとでは, \( f(x) \) をよく近似するでしょう. そこで, \( f(x) \) の積分の近似値として, \( p(x) \) の積分を採用します. すると, \begin{align} \int_a^b f(x) \, dx &\aeq \int_a^b p(x) \, dx \\[0.8em] &= \brk{p(a) + 4 p(c) + p(b)} \, \frac{h}{6} \\[0.8em] &= \brk{f(a) + 4 f(c) + f(b)} \, \frac{h}{6} \end{align} となり, 近似式 \( (**) \) が得られます.

4. 等式 \( (*) \)を, 2次多項式 \[ p(x) = (x - a)(x - b) \] に適用してみます: \begin{align} \int_a^b (x - a)(x - b) \, dx &= \brk{p(a) + 4 p(c) + p(b)} \, \frac{h}{6} \\[0.8em] &= \brk{0 + 4 \c \prn{ \frac{h}{2}} \prn{- \frac{h}{2}} + 0} \, \frac{h}{6} \\[0.8em] &= - \frac{h^3}{6}. \end{align} 前回述べた 1/6 公式が得られました.