勉☆強☆し☆な☆い

タイトルテスト中

稠密部分集合の直積はまた稠密

\( \newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\calB}{\mathcal{B}} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\sm}{\setminus} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\Cap}{\bigcap} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\imp}{\,\,\, \Rightarrow \,\,\,} \newcommand{\equ}{\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brk}[1]{\left[ #1 \right]} \)

1. \( (A_i \ss X_i)_{i \in I} \) を位相空間とその部分集合の族とする. 各 \(A_i \) が \( X_i \) において稠密であれば, \[ A := \prod_{i \in I} A_i \] も \[ X := \prod_{i \in I} X_i \] において稠密である.

2. なぜなら:

\( X \) の部分集合族 \[ \calB := \Cup_{\text{有限部分集合 \( I' \ss I \)}} \, \set{\prod_{i \in I'} U_i \tm \prod_{i \in I \sm I'} X_i}{\text{\( U_i \) は \( X_i \) の開集合}} \] は \( X \) の位相の基である.

\( U \) を \( X \) の空でない開集合とすると, \( U \) はある空でない \( \calB \) の集合 \[ \prod_{i \in I'} U_i \tm \prod_{i \in I \sm I'} X_i \] を含む.

仮定より, これは \( A \) の要素を含むので, \( U \) も \( A \) の要素を含む. //

3. 例えば, \( \bbQ \) は \( \bbR \) において稠密なので, \( \bbQ^n \) も \( \bbR^n \) において稠密である.