勉☆強☆し☆な☆い

タイトルテスト中

稠密部分集合

\( \newcommand{\olA}{\overline{A}} \newcommand{\calC}{\mathcal{C}} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\Cap}{\bigcap} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\imp}{\,\,\, \Rightarrow \,\,\,} \newcommand{\equ}{\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brk}[1]{\left[ #1 \right]} \DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} \)

1. 位相空間 \( X \) の部分集合 \( A \) が \( X \) において稠密であるとは, 任意の点 \( x \in X \) が \( A \) の触点であることである: \[ \olA = X. \]

2. \( X \) の空でない任意の開集合が \( A \) と交わることと言ってもよい.

なぜなら:

\[ \text{\( X \) の空でない開集合全体} = \Cup_{x \in X} \prn{\text{\( x \) の開近傍全体}} \] であり, \( A \) が稠密であるとは, 右辺の集合族に属する集合が必ず \( A \) と交わることだから. //

あるいは, 次のように考えてもよい: \( \Ext A \) は \( A^c \) に含まれる最大の開集合であるので, \begin{align*} \Ext A = \emset &\equ \text{\( A^c \) に含まれる開集合は \( \emset \) のみ} \\[0.8em] &\equ \text{空でない開集合は \( A \) と交わる} \end{align*} となるから. //

1. \( X \) を位相空間とし, \[ A \ss Y \ss X \] とする. \( A \) が \( Y \) において稠密であるのは, どのようなときかを見る. もちろん, \( Y \) の位相は \( X \) からの相対位相である.

2. \( X \) の閉集合全体を \( \calC \) で表す. \( A \) を含む \( Y \) の閉集合全体は, \[ \set{Y \cap F}{A \ss F \in \calC} \] であるので, \begin{align*} \text{\( A \) の \( Y \) での閉包} &= \Cap_{A \ss F \in \calC} \brk{Y \cap F} \\[0.8em] &= Y \cap \brk{\Cap_{A \ss F \in \calC} F} \\[0.8em] &= Y \cap \olA \end{align*} である. ここで, \( \olA \) は \( A \) の \( X \) での閉包である.

3. したがって, \( A \) が \( Y \) において稠密であるための必要十分条件は, \[ Y \cap \olA = Y \equ Y \ss \olA \] となる.

4. \( A \) はいつでも, \( \olA \) において稠密である.