積位相の基

\( \newcommand{\calA}{\mathcal{A}} \newcommand{\calB}{\mathcal{B}} \newcommand{\calO}{\mathcal{O}} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\pinv}{p^{-1}} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sm}{\setminus} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\Cap}{\bigcap} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\imp}{\,\,\, \Rightarrow \,\,\,} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \)

1. \( (X_i, \calO_i)_{i \in I} \) を位相空間の族とし, 積空間 \[ X := \prod_{i \in I} X_i \] を考える.

2. 積空間 \( X \) には, 積位相と呼ばれる, 射影の族 \[ (p_i \col X \to X_i)_{i \in I} \] に関する始位相, すなわち, \( p_i \) すべてが連続になるような最弱の位相が入っている.

3. 積位相は, 集合族 \[ \calA := \Cup_{i \in I} \set{\pinv_i(U)}{U \in \calO_i} \] で生成される.

4. 「位相の基、あるいは開基」で述べたように, \( \calA \) から作られる集合族 \[ \calB := \set{\Cap_{A \in \calA'} A}{\text{\( \calA' \) は \( \calA \) の有限部分集合}} \] は, 積位相の基である.

1. \( U_1\), \( \ld \), \( U_n \in \calO_i \) に対して, \begin{align*} &\pinv_i(U_1) \cap \cd \cap \pinv_i(U_n) = \pinv(U_1 \cap \cd \cap U_n) = \pinv(U), \\[0.8em] &U := U_1 \cap \cd \cap U_n \in \calO_i \end{align*} である.

2. したがって, \( \calB \) の要素は, 有限部分集合 \( I' \ss I \) に対して, \[ \Cap_{i \in I'} \pinv_i(U_i), \quad U_i \in \calO_i \] と書ける集合である.

3. \[ \Cap_{i \in I'} \pinv_i(U_i) = \prod_{i \in I'} U_i \tm \prod_{i \in I \sm I'} X_i \] であるので, \( \calB \) の要素は, 有限部分集合 \( I' \ss I \) に対して, \[ \prod_{i \in I'} U_i \tm \prod_{i \in I \sm I'} X_i, \quad U_i \in \calO_i \] と書ける集合である: \[ \calB = \Cup_{\substack{I' \ss I \\ \#I' < \oo}} \set{\prod_{i \in I'} U_i \tm \prod_{i \in I \sm I'} X_i}{U_i \in \calO_i}. \]

1. 特に, 有限積 \[ X = X_1 \tm \cd \tm X_n \] の場合を考える. \[ I = \brc{1, \, 2, \, \ld, \, n} \] の場合である.

2. このときには, \( I \) の部分集合はすべて有限であるので, \[ \calB = \Cup_{I' \ss I} \set{\prod_{i \in I'} U_i \tm \prod_{i \in I \sm I'} X_i}{U_i \in \calO_i} \] である.

3. 任意の \( I' \ss I \) に対して, \[ \set{\prod_{i \in I'} U_i \tm \prod_{i \in I \sm I'} X_i}{U_i \in \calO_i} \ss \set{\prod_{i \in I} U_i}{U_i \in \calO_i} \] であるので, \( I' = I \) の場合だけ残せばよい: \[ \calB = \set{\prod_{i=1}^n U_i}{U_i \in \calO_i}. \]