始位相と終位相(2): 連続写像かどうかは、生成開集合ついて確かめればよい

\( \newcommand{\scA}{\mathscr{A}} \newcommand{\scF}{\mathscr{F}} \newcommand{\scI}{\mathscr{I}} \newcommand{\scO}{\mathscr{O}} \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\ginv}{g^{-1}} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\nin}{\not\in} \newcommand{\nni}{\not\ni} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\Cap}{\bigcap} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcommand{\uto}[1]{\overset{#1}{\longrightarrow}} \newcommand{\imp}{\Rightarrow} \newcommand{\fol}{\Leftarrow} \newcommand{\equ}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \)

1. 位相空間 \( (X, \scO_X) \) と \( (Y, \scO_Y) \) の間に写像 \[ f \col X \to Y \] が与えられているとする. このとき, \begin{align*} &\text{ \( X \) 上に \( f \) による始位相(Initial topology) \( \scI \), } \\[0.5em] &\text{ \( Y \) 上に \( f \) による終位相(Final topology)\( \scF \) } \end{align*} が存在している.

2. 写像 \[ f \col (X, \scO_X) \to (Y, \scO_Y) \] が連続であることを, 始位相 \( \scI \) を用いて次のように言い換えることができる: \[ \text{ \( f \) が連続} \quad \equ \quad \scI \ss \scO_X. \]

なぜなら:

\( \imp ) \) \( \scI \) は \( f \) を連続にするような \( X \) の最弱の位相であり, \( f \) は \( \scO_X \) に関して連続であるから.

\( \fol ) \) \( f \) は \( X \) 上の始位相に関して連続なので, \( O \in \scO_Y \) に対して, \( \finv(O) \in \scI \ss \scO_X \) であるから.

3. 写像 \[ f \col (X, \scO_X) \to (Y, \scO_Y) \] 連続であることを, 終位相 \( \scF \) を用いて次のように言い換えることができる: \[ \text{ \( f \) が連続} \quad \equ \quad \scO_Y \ss \scF. \]

なぜなら:

\( \imp ) \) \( \scF \) は \( f \) を連続にするような \( X \) の最強の位相であり, \( f \) は \( \scO_Y \) に関して連続であるから.

\( \fol ) \) \( f \) は \( Y \) 上の終位相に関して連続なので, \( O \in \scO_Y \ss \scF \) に対して, \( \finv(O) \in \scO_X \) であるから.

4. 位相空間 \( (X, \scO_X) \) と \( (Y, \scO_Y) \) の間に写像 \[ f \col X \to Y \] が与えられており, 位相 \( \scO_Y \) は \( Y \) の部分集合族 \( \scA \) で生成されているとする. このとき, \[ \forall A \in \scA, \,\, \finv(A) \in \scO_X \quad \imp \quad \text{\( f \) は連続} \] である.

すなわち, 位相空間の間の写像が連続であるかどうかをみるには, 生成開集合の逆像が開集合であるかどうかをみればよい.

5. 証明.

命題の前提条件が成り立つとき, \[ \scA \ss \scF = \set{S \ss Y}{\finv(S) \in \scO_X} \] である. \( \scO_Y \) は \( \scA \) を含む最弱の位相であるので, \[ \scO_Y \ss \scF \] である. □