始位相と終位相(1): 定義

\( \newcommand{\scF}{\mathscr{F}} \newcommand{\scG}{\mathscr{G}} \newcommand{\finv}{f^{-1}} \newcommand{\ginv}{g^{-1}} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\nin}{\not\in} \newcommand{\nni}{\not\ni} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\Cap}{\bigcap} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\cc}{\circ} \newcommand{\col}{\, \colon \,} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcommand{\uto}[1]{\overset{#1}{\longrightarrow}} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\equ}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \)

1. \( S \) を集合, \( (Y_j)_{j \in J} \) を位相空間の族とし, 各 \( j \) に対して, 写像 \[ g_j \col S \to Y_j \] が与えられているとする.

2. このとき, すべての \( g_j \) を連続にするような \( S \) の最弱の位相を,

写像族 \( (g_j)_{j \in J} \) によって定まる \( S \) の始位相」

という.

3. 始位相の一意性は明らかであるが, そもそも始位相は存在するのか? 存在する. 部分集合族 \[ \Cup_{j \in J} \set{g_j^{-1}(O)}{\text{\( O \) は \( Y_j \) の開集合}} \] で生成される \( S \) の位相を考えればよい.

1. \( S \) を集合, \( (X_i)_{i \in I} \) を位相空間の族とし, 各 \( i \) に対して, 写像 \[ f_i \col X_i \to S \] が与えられているとする.

2. このとき, すべての \( f_i \) を連続にするような \( S \) の最強の位相を,

写像族 \( (f_i)_{i \in I} \) によって定まる \( S \) の終位相」

という.

3. 終位相の一意性は明らかであるが, そもそも終位相は存在するのか? 存在する. 部分集合族 \[ \set{A \ss S}{\text{任意の \( i \in I \) に対して, \( f_i^{-1}(A) \) は \( X_i \) の開集合}} \] がそのような位相となっている.