レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

ハウスドルフ空間と対角線集合

\( \newcommand{\calB}{\mathcal{B}} \newcommand{\D}{\Delta} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\nin}{\not\in} \newcommand{\nni}{\not\ni} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\Cap}{\bigcap} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\equ}{\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \DeclareMathOperator{\Int}{Int} \)

位相空間 \( X \) がハウスドルフであるとは, \( X \) の異なる2点が \( X \) の開集合で分離できることである:

  • 任意の異なる2点 \( x \), \( y \in X \) に対して, \[ x \in U, \quad y \in V, \quad U \cap V = \emset \] をみたす \( X \) の開集合 \( U \), \( V \) が存在する.

簡単な議論で, この条件は次のように言い換えられる:

  • 対角線集合 \[ \D := \set{(x,y) \in X \tm X}{x = y} \] は, \( X \tm X \) の閉集合である.

1. まず, \( A \), \( B \ss X \) に対して, \[ A \cap B = \emset \equ A \tm B \ss \D^c \] であることに注意する.

f:id:ddkd:20190214164035p:plain

2. また, \( X \tm X \) の部分集合族 \[ \calB := \set{U \tm V}{\text{\( U \), \(V\) は \( X \) の開集合}} \] が, \( X \tm X \) の位相の基であることにも注意する.

3. \( X \) がハウスドルフであるという条件は, 以下のように変形できる:

\( X \) はハウスドルフ

\( \equ \) 任意の相異なる2点 \( x \), \( y \in X\) に対して, \( X \) の開集合 \( U \), \( V \) が存在して, \[ x \in U \quad \text{かつ} \quad y \in V \quad \text{かつ} \quad U \cap V = \emset . \]

\( \equ \) 任意の \( p \in \D^c \) に対して, ある \( B \in \calB \) が存在して, \[ p \in B \quad \text{かつ} \quad B \ss \D^c . \]

\( \equ \) \( \D^c \) は \( \calB \) の要素の和.

\( \equ \) \( \D^c \) は \( X \tm X \) の開集合.

\( \equ \) \( \D \) は \( X \tm X \) の閉集合.