レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

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ハウスドルフ空間と対角線集合

\( \newcommand{\D}{\Delta} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\nin}{\not\in} \newcommand{\nni}{\not\ni} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\Cap}{\bigcap} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\equ}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \DeclareMathOperator{\Int}{Int} \)

位相空間 \( X \) がハウスドルフであるとは, \( X \) の異なる2点が \( X \) の開集合で分離できることである:

  • 任意の異なる2点 \( x \), \( y \in X \) に対して, \[ x \in U, \quad y \in V, \quad U \cap V = \emset \] をみたす \( X \) の開集合 \( U \), \( V \) が存在する.

簡単な議論で, この条件は次のように言い換えられる:

  • 対角線集合 \[ \D := \set{(x,y) \in X \tm X}{x = y} \] は, \( X \tm X \) の閉集合である.

以下, このことを見てみる.

1. \( X \) がハウスドルフであるという条件を言い換えると, \[ \D^c \ss \Cup_{U \cap V = \emset} U \tm V \] となる. ここで, \( U \) と \( V \) は \( X \) の開集合を動くものとする.

2. \( \D \) の定義より逆の包含関係が成り立つので, この条件は, \[ \D^c = \Cup_{U \cap V = \emset} U \tm V \] と同値である.

3. これが成り立てば, \[ \text{\( \D^c \) は \( X \tm X \) の開集合} \] であるが, \[ \set{U \tm V}{\text{\( U \), \( V \) は \( X \) の開集合}} \] は積位相の開基であるので, 逆も正しい.

4. この条件はもちろん, \[ \text{\( \D \) は \( X \tm X \) の閉集合} \] という条件と同値である.