レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

実数全体の集合が非可算であることの、区間縮小法の原理を用いた証明

\( \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\bbR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bbN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\sp}{\supset} \newcommand{\nni}{\not\ni} \newcommand{\emset}{\emptyset} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\Cap}{\bigcap} \newcommand{\ld}{\ldots} \newcommand{\cd}{\cdots} \newcommand{\mto}{\mapsto} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\equ}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\set}[2]{\left\{ #1 \mathrel{} \middle| \mathrel{} #2 \right\}} \newcommand{\prn}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\brc}[1]{\left\{ #1 \right\}} \)

1. \[ 0 < \e < 1/2 \] とし, 閉区間 \( I = [a,b] \) に対して, \begin{align*} L(I) &:= [a, a + \e \ell], \\[0.5em] R(I) &:= [b - \e \ell, b] \end{align*} とおく. ここで, \( \ell \) は区間 \( I \) の長さで \[ \ell = b - a \] である. \[ L(I) \ss I, \quad R(I) \ss I \] であり, また, \[ a + \e \ell < a + (1 - \e) \ell = b - \e \ell \] より, \[ L(I) \cap R(I) = \emset \] であることに注意する. \( L \) および \( R \) は閉区間に閉区間を対応させる写像である.

2. \( [0,1] \) が非可算であることを示す. これにより, 実数全体の集合が非可算であることも従う.

3. \( [0,1] \) が可算であったとすると, \( [0,1] \) は無限集合であるので, 全単射 \[ \bbN = \brc{1, \, 2, \, 3, \, \ld} \to [0,1] \,\,\, \colon \,\,\, n \mto x_n \] が存在することになる.

4. 以下のようにして, 閉区間の列 \( (J_n)_{n=0}^{\oo} \) を構成する. まず, \[ J_0 := [0,1] \] とおく.

  1. \( L(J_0) \) と \( R(J_0) \) は交わらないので, 両方ともが \( x_1 \) を含むことはできない. \( x_1 \) を含まないものを選び, それを \( J_1 \) とおく. このとき, \[ J_0 \sp J_1, \quad J_1 \nni x_1 \] である.
  2. \( L(J_1) \) と \( R(J_1) \) は交わらないので, 両方ともが \( x_2 \) を含むことはできない. \( x_2 \) を含まないものを選び, それを \( J_2 \) とおく. このとき, \[ J_1 \sp J_2, \quad J_2 \nni x_2 \] である.
  3. \( \cd \)

5. \( (J_n)_{n=0}^{\oo} \) は閉区間の縮小列であるので, 区間縮小法の原理より, \[ \Cap_{n=0}^{\oo} J_n \ne \emset \] である. 左辺の要素を1つ選び, それを \( x \) とおくと, \[ x \in J_0 = [0,1] \] であるので, ある番号 \( N \ge 1 \) が存在して, \[ x = x_N \] である.

6. しかし, また, \[ x \in J_N \] であるので, \[ x \ne x_N \] でもある. これは矛盾である. したがって, \( [0,1] \) は非可算でなければならない. □