レ☆ト☆ロ☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

有界閉区間の外測度(1)

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\m}{m^{*}} \)

前回の続きです. 以下のことを示します.

有界区間の外測度は, その長さ(端点の差)である.

\( a \), \( b \) を \( a < b \) である2つの実数とします. 次の2つの主張

  1. \( \m([a,b]) \le b - a \),
  2. \( \m([a,b]) \ge b - a \),

が示されればよいですが, 1については簡単です.

なぜなら, \( \e > 0 \) に対して, \[ [a, b] \ss (a - \e, b + \e) \] であり, したがって, \[ \m([a, b]) \le (b + \e) - (a - \e) = b - a + 2 \e \] であるからです.

主張2を示しましょう. 鍵となるのは次の補題です.

補題. \( [a, b] \) を被覆する有界区間の有限列 \( (I_k)_{k=1}^N \) に対して, \[ \sum_{k=1}^N \ell(I_k) > b - a \] が成り立つ.

区間の長さの和が \( b - a \) より大きくないと, \( [a, b] \) を覆えないというわけです. ひとまずはこれを認めて先に進みます. 次の系から主張2が従うことは明らかでしょう.

. \( [a, b] \) を被覆する有界区間列 \( (I_k)_{k=1}^{\oo} \) に対して, \[ \sum_{k=1}^{\oo} \ell(I_k) > b - a \] が成り立つ.

系の証明. \( [a,b] \) はコンパクトであるので, ある \( N \) に対して \[ [a,b] \ss \Cup_{k=1}^{N} I_k \] となり, したがって, \[ \sum_{k=1}^{\oo} \ell(I_k) \ge \sum_{k=1}^{N} \ell(I_k) > b - a \] が成り立つ. □

補題の証明は次回述べます.