実数全体の集合が非可算であることの、外測度を用いた証明

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\oo}{\infty} \newcommand{\ss}{\subset} \newcommand{\Cup}{\bigcup} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\m}{m^{*}} \)

以前, 「実数全体の集合は非可算」 であることを区間縮小法を用いて証明しましたが, ルベーグ外測度(以下, 単に外測度という)を利用すると, このことの非常に簡単な証明が得られます.

以下, 開区間と言えば, 空でない開区間のことです.

外測度の定義から始めましょう.

任意の \( A \subset \R \) に対して, その外測度 \( \m(A) \) を \[ \m(A) := \inf \, \sum_{k=1}^{\oo} \ell(I_k) \] により定義する. ここで, 下限は \( A \) を被覆する有界区間列 \( (I_k)_{k=1}^{\oo} \) に関してとられ, \( \ell(I_k) \) は区間の長さ(端点の差)である.

注意. 定義に \( A \) を被覆する有界区間の有限列を含めることができます: \( (I_k)_{k=1}^{N} \) をそのような被覆とするとき, 長さの和が \( \e \) である有界区間列 \( (I_k)_{k=N+1}^{\oo} \) をとると, \[ \sum_{k=1}^{\oo} \ell(I_k) = \sum_{k=1}^N \ell(I_k) + \e \ge \m(A). \] \( \e \) は任意にとれるので, \[ \sum_{k=1}^N \ell(I_k) \ge \m(A). \]

証明には, 外測度の次の2つの性質を用います:

  1. 可算集合の外測度はゼロ.
  2. 有界区間の外測度はその長さ(端点の差).

これらの性質については後で確認することにして, まず, 実数全体の集合が非可算であることの証明を述べます.

証明区間 \( [0,1] \) の外測度は \( 1 > 0 \) であるので, \( [0,1] \) は非可算である. 可算集合の部分集合は可算であるので, \( \R \) も非可算である. □

用いた外測度の性質を確認しておきます.

1.

\( C \) を可算集合とします. このとき, \( C \) の各点が必ず現れるような数列 \( (c_k)_{k=1}^{\oo} \) が存在します. \( 1 \) に収束する正項級数をなんでもよいので1つ選びます: \[ \sum_{k=1}^{\oo} \ell_k = 1, \quad \ell_k > 0 \,\,\, (k \ge 1). \] \( \e > 0 \) とします. 各 \( k \) に対して, \( c_k \) を含み, 長さが \( \e \ell_k \) である有界区間 \( I_k \) が存在します. \( (I_k)_{k=1}^{\oo} \) は \( C \) を被覆するので, \[ \m(C) \le \sum_{k=1}^{\oo} \e \ell_k = \e. \] \( \e \) は任意であるので, \( \m(C) = 0 \) でなければなりません. □

2.

長くなるので, 別記事にします. □