ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

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有理数

\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \)分数の和と積の規則 \begin{align*} \frac{m}{n} + \frac{m'}{n'} &= \frac{m n' + n m'}{nn'}, \\[0.5em] \frac{m}{n} \times \frac{m'}{n'} &= \frac{m m'}{n n'} \end{align*} はどこから来るのか?

平行移動について.

  • 以下, 「平行移動」とは, 「直線上の平行移動」のこと.
  • 平行移動 \( T_1 \) の後, 平行移動 \( T_2 \) を行うと, 結果はまた平行移動である. その平行移動を \( T_1 + T_2 \) と書く.
  • \( T \) を \( a \in \N := \{0, 1, 2, \ldots \} \) 回行ったものを \( T \times a \) と書く: \[ T \times a := \overbrace{T + \cdots + T}^a . \]
  • 平行移動 \( T \) と逆向きの平行移動を \( -T \) と書く: \[ T + ( -T) = (-T) + T = 0. \]

整数の平行移動への作用

\[ m = \bigl[ (a, \, b) \bigr] \in \Z = \N^2 / \sim \] (以前の記事「負の数」参照.)とし, \( T \) を平行移動とする. このとき, \[ T \times m := T \times a + (-T) \times b \] は well-defined.
\( m = [ (a, b) ] \), \( m' = [ (a', b') ] \in \Z \) に対して次が成り立つ.
  1. \( T \times m + T \times m' = T \times (m + m') \).
  2. \( (T \times m) \times m' = T \times (m m') \).

\( \because \) )

1. まず, \[ m + m' = \left[(a + a', \, b + b') \right]. \] したがって, \begin{align*} T \times m + T \times m' &= \bigl( T \times a + (-T) \times b \bigr) + \bigl( T \times a' + (-T) \times b' \bigr) \\[0.5em] &= \bigl( T \times a + T \times a' \bigr) + \bigl( (-T) \times b + (-T) \times b' \bigr) \\[0.5em] &(\text{\( T \) と \( -T \) は可換だから, \( (-T) \times b \) と \( T \times a' \) も可換.}) \\[0.5em] &= T \times (a + a') + (-T) \times (b + b') \\[0.5em] &= T \times (m + m'). \quad \Box \end{align*} 2. まず, \[ m m' = \left[(a a' + b b', \, a b' + b a') \right]. \] (以前の記事「負の数」参照.) したがって, \begin{align*} (T \times m) \times m' &= \bigl(T \times a + (-T) \times b \bigr) \times m' \\[0.5em] &= \bigl( T \times a + (-T) \times b \bigr) \times a' + \bigl( (-T) \times a + T \times b \bigr) \times b' \\[0.5em] &= \bigl( T \times (a a') + (-T) \times (b a') \bigr) + \bigl( (-T) \times (a b') + T \times (b b') \bigr) \\[0.5em] &= T \times (a a' + b b') + (-T) \times (a b' + b a') \\[0.5em] &= T \times (m m'). \quad \Box \end{align*}

有理数の構成

\( (m,n) \in \Z \times \Z_{>0} \) とし, \( T \) を平行移動とする. \[ T \times (m, n) := T_n \times m \] と定義する. ここで, \( T_n \) は \( T \) を \( n \) 等分したもの. すなわち, \[ T_n \times n = T \] をみたすただ1つの平行移動.

\( T \times (m,n) \) と \( T \times (m',n') \) が任意の \( T \) に対して等しくなるときがある. どのようなときだろうか?それは, \begin{align*} T \times (m,n) &= T_n \times m = ( T_{nn'} \times n') \times m = T_{nn'} \times (n' m) , \\[0.5em] T \times (m',n') &= T_{n'} \times m' = (T_{nn'} \times n) \times m' = T_{nn'} \times (n m') \end{align*} (\( (T_n)_{n'} = T_{nn'} \) である. 両辺 \( nn' \) 倍すれば等しいので.) であるから, \[ m n' = n m' \] のときである. そこで, \[ (m, n) \sim (m', n') \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} m n' = n m' \] と定義する. (これは同値関係.)

\( (m,n) \in \Z \times \Z_{>0} \) の定める同値類を \[ \frac{m}{n} \] とかく. これを有理数という. 定義より, 有理数の平行移動への作用 \[ T \times \frac{m}{n} := T_n \times m \] は well-defined である.

通分

\( k \in \Z_{>0} \) に対して, \[ \frac{m}{n} = \frac{mk}{nk}. \] 定義よりすぐに分かる.

加法

\( m/n \), \( m'/n' \) を有理数とする. 任意の平行移動 \( T \) に対して \[ \left( T \times \frac{m}{n} \right) + \left( T \times \frac{m'}{n'} \right) = T \times \Box \tag{\(*\)} \] となる有理数 \( \Box \) があれば, それを \( m/n \) と \( m'/n' \) の和 \[ \frac{m}{n} + \frac{m'}{n'} \] の定義としたい. そのような有理数 \( \Box \) はあるだろうか? \( (*) \) の左辺を計算してみると, \begin{align*} \left( T \times \frac{m}{n} \right) + \left( T \times \frac{m'}{n'} \right) &= \left( T \times \frac{m n'}{n n'} \right) + \left( T \times \frac{n m'}{n n'} \right) \\[0.5em] &= T_{nn'} \times (m n') + T_{nn'} \times (n m') \\[0.5em] &= T_{nn'} \times (mn' + nm') \\[0.5em] &= T \times \frac{mn' + nm'}{nn'} \end{align*} であるので, \[ \Box = \frac{mn' + nm'}{nn'} \] とすればよい. そこで, \[ \frac{m}{n} + \frac{m'}{n'} := \frac{mn' + nm'}{nn'} \] と定義する. この定義は well-defined である.

乗法

\( m/n \), \( m'/n' \) を有理数とする. 任意の平行移動 \( T \) に対して \[ \left( T \times \frac{m}{n} \right) \times \frac{m'}{n'} = T \times \triangle \tag{#} \] となる有理数 \( \triangle \) があれば, それを \( m/n \) と \( m'/n' \) の積 \[ \frac{m}{n} \times \frac{m'}{n'} \] の定義としたい. そのような有理数 \( \triangle \) はあるだろうか?

まず, 補題.

\( m \in \Z \), \( n \in \Z_{>0} \) に対して, \( T_n \times m = (T \times m)_n \).

\( \because \) ) 両辺 \( n \) 倍すると, \( T \times m \) であるから. \( \Box \)

さて, (#) の左辺を計算してみると, \begin{align*} \left( T \times \frac{m}{n} \right) \times \frac{m'}{n'} &= (T_n \times m)_{n'} \times m' \\[0.5em] &= ( T_{nn'} \times m ) \times m' \\[0.5em] &= T_{nn'} \times (mm') \\[0.5em] &= T \times \frac{mm'}{nn'} \end{align*} であるので, \[ \triangle = \frac{mm'}{nn'} \] とすればよい. そこで, \[ \frac{m}{n} \times \frac{m'}{n'} := \frac{mm'}{nn'} \] と定義する. この定義は well-defined である.

分母に負の数をもつ分数

\( \Z \times \Z_{\neq 0} \) に, \( \Z \times \Z_{> 0} \) へ導入したのと同じ同値関係 \[ (m, n) \sim (m', n') \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} mn' = nm' \] を導入する. また, \( \Z \times \Z_{\neq 0} / \sim \) 上の加法と乗法を \( \Z \times \Z_{> 0} / \sim \) のときと同じく \begin{align*} \frac{m}{n} + \frac{m'}{n'} &= \frac{mn' + nm'}{nn'}, \\[0.5em] \frac{m}{n} \times \frac{m'}{n'} &= \frac{mm'}{nn'} \end{align*} と定義する. このとき, \[ \Z \times \Z_{> 0} / \sim \,\, \longrightarrow \,\, \Z \times \Z_{\neq 0} / \sim, \quad \frac{m}{n} \longmapsto \frac{m}{n} \] は同型である. 有理数を \( \Z \times \Z_{\neq 0} / \sim \) の元と考えれば, 分数の分母に負の数をとることができる.