ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

負の数

\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \)2種類のものを数えます.

どちらがどれだけ多いかに着目して同値類に分けます.

式で書くと, \[ \bigl(m,n \bigr) \sim \bigl(m', n' \bigr) \, \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \, m + n' = n + m'. \]

(これは, \( \N^2 \) 上の同値関係です. \( \N = \{ 0, \, 1, \, 2, \, 3, \, \ldots \} \).)

\( m \in \N \) に対して

  • \( [ (m, 0) ] = m \),
  • \( [ (0, m) ] = -m \)
と書きます (\( [ \hspace{0.5em}] \) は同値類を表す). このとき, \[ \ldots, \, -3, \, -2, \, -1, \, 0, \, 1, \, 2, \, 3, \, \ldots \] は互いに異なる \[ \Z := \N^2 / \sim \] のすべての要素です.

加法

\( \N^2 \) 上の加法 \[ \bigl(m, \, n \bigr) + \bigl(m', \, n' \bigr) := \bigl(m + m', \, n + n' \bigr) \] は \( \Z \) 上の加法を誘導します. 定義から明らかなように, この加法は可換です. また, \( m \), \( m' \in \N \) に対して, 次が成り立ちます.
  1. \[ \bigl(m, \, 0 \bigr) + \bigl(m', \, 0 \bigr) = \bigl(m + m', \, 0 \bigr) \] から, \[ m + m' = m + m'. \] 分かりにくい書き方ですが, 左辺は \( \Z \) の元 \( m \) と \( m' \) の \( \Z \) における和で, 右辺は \( \N \) の元 \( m \) と \( m' \) の \( \N \) における和が定める \( \Z \) の元です. 以下でも, 同様です.
  2. \[ \bigl(m, \, 0 \bigr) + \bigl(0,\, m' \bigr) = \bigl(m, \, m' \bigr) \sim \begin{cases} \bigl(m - m', \, 0 \bigr) & m \ge m' \\[0.5em] \bigl(0, \, m' - m \bigr) & m < m' \end{cases} \] から, \[ m + \left(-m' \right) = \begin{cases} \phantom{-\left( \right.} m - m' \phantom{\left. \right)} & m \ge m' \\[0.5em] -\left(m' - m \right) & m < m'. \end{cases} \]
  3. \[ \bigl(0, \, m \bigr) + \bigl(0, \, m' \bigr) = \bigl(0, \, m + m' \bigr) \] から, \[ \bigl( -m \bigr) + \bigl( -m' \bigr) = - \bigl( m + m' \bigr). \]

乗法

\( \N^2 \) 上の乗法 \begin{align*} \bigl( m, \, n \bigr) \times \bigl( m', \, n' \bigr) &:= \overbrace{ \bigl(m, \, n \bigr) + \cdots + \bigl(m, \, n \bigr) }^{m'} + \overbrace{ \bigl(n, \, m \bigr) + \cdots + \bigl(n, \, m \bigr) }^{n'} \\[0.5em] &= \bigl( mm', \, nm' \bigr) + \bigl( nn', \, mn' \bigr) \\[0.5em] &= \bigl( mm' + nn', \, nm' + mn' \bigr) \tag{\(*\)} \end{align*} は \( \Z \) 上の乗法を誘導します. (自然数の乗法をまねることにより, \[ \bigl( m, \, n \bigr) \times \bigl( m', \, n' \bigr) = \overbrace{ \bigl(m, \, n \bigr) + \cdots + \bigl(m, \, n \bigr) }^{m' - n'} \] という定義を思いつきますが, これでは \( m' \ge n' \) のときにしか意味をもたないので, 変形して上の数式の1行目のようにします.) (*)より, この乗法は可換です. 定義より, \( m \), \( n \), \( m' \), \( n' \in \N \) に対して, 次が成り立ちます.
  1. \[ \bigl(m, \, 0 \bigr) \times \bigl(m', \, 0 \bigr) = \bigl(m m', \, 0 \bigr) \] から, \[ m \times m' = m m'. \]
  2. \[ \bigl(m, \, 0 \bigr) \times \bigl(0,\, n' \bigr) = \bigl(0, \, m n' \bigr) \] から, \[ m \times \left(-n' \right) = - \left( mn' \right). \]
  3. \[ \bigl(0, \, n \bigr) \times \bigl(0, \, n' \bigr) = \bigl(n n', \, 0 \bigr) \] から, \[ \bigl( -n \bigr) \times \bigl( -n' \bigr) = n n'. \]

負の数と負の数をかけると正の数になる, ということが自然に出てきました.

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