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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

距離空間の交わらない閉集合は、開集合で分離される。(3)

雑記

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \)\( X \) を距離空間とし, \( F_1\), \( F_2 \subset X \) を互いに交わらない閉集合とする. このとき, \[ F_1 \subset U_1, \quad F_2 \subset U_2, \quad U_1 \cap U_2 = \emptyset \] をみたす開集合 \( U_1 \), \( U_2 \) が存在する.

以前, 2つの証明を述べました. 第3の証明を述べます. 次の命題を使います.

\( X \) を距離空間とし, その閉集合 \( F \) と開集合 \( G \) は \( F \subset G \) をみたすとする. このとき, 連続関数 \( f: X \to \R \) で, \begin{gather*} &0 \le f(x) \le 1 \quad \forall \, x \in X, \\[0.5em] &f |_F = 1, \\[0.5em] &f |_{G^c} = 0 \end{gather*} をみたすものが存在する.

証明.

\[ f(x) = \frac{d(x, G^c)}{d(x,F) + d(x,G^c)} \quad (x \in X) \] とおく.

1. \( f(x) \) は連続関数である:

  • \( d(x,F) \) と \( d(x,G^c) \) は連続関数(前回示しました).
  • 分母は0にならない.
    \( ( \because \, d(x,F) + d(x,G^c) = 0 \Rightarrow d(x,F) = d(x,G^c) = 0 \Rightarrow x \in F \cap G^c \Rightarrow \text{矛盾}.) \)
    ( \( \emptyset \neq A \) が閉集合で \( x \not\in A \) のとき, \( d(x,A) > 0 \) であることに注意.)

2. \( 0 \le f(x) \le 1 \), \( f |_F = 1 \), \( f |_{G^c} = 0 \) である: 明らか. □

f:id:ddkd:20170108230252p:plain
( 『\( X \) \( = \R \), \( F \) \( = \) 閉区間, \( G \) \( = \) 開区間』 のときの \( f(x) \) のグラフ )
第3の証明: \[ f |_{F_1} = 1, \quad f |_{F_2} = 0 \] をみたす連続関数 \( f: X \to \R \) をとり, \begin{align*} U_1 &:= f^{-1} \left( \, \left(\frac{1}{2}, \, \infty \right) \, \right), \\[0.5em] U_2 &:= f^{-1} \left( \, \left(-\infty, \, \frac{1}{2} \right) \, \right) \end{align*} とおけばよい.
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