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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

距離関数の連続性

雑記
\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\e}{\varepsilon} \)1. \( (X,d) \) を距離空間とし, \( a \in X \) とする. このとき, \[ d( \Box, a) : X \to \R, \quad x \mapsto d(x,a) \] は連続である.

証明.

  • 三角不等式より, 任意の \(x, y \in X\) に対して, \begin{align*} &d(x,a) \le d(x,y) + d(y,a), \\[0.5em] &d(y,a) \le d(y,x) + d(x,a). \end{align*} したがって, \begin{align*} &d(x,a) - d(y,a) \le d(x,y), \\[0.5em] &d(y,a) - d(x,a) \le d(y,x). \end{align*} \[ \therefore \, \bigl| \, d(x,a) - d(y,a) \, \bigr| \le d(x,y). \]
  • 任意の \( \e > 0 \) に対して, \[ d(x,y) < \e \Longrightarrow \bigl| \, d(x,a) - d(y,a) \, \bigr| < \e. \] したがって, \( d(\Box, a) \) は一様連続. よって, 連続. □
2. \( x \in X \), \( \emptyset \neq A \subset X \) に対して, \[ d(x,A) := \inf \{ d(x,a) \mid a \in A \} \] と定義する. このとき, \[ d( \Box, A) : X \to \R, \quad x \mapsto d(x,A) \] は連続である.

証明.

  • 三角不等式より, 任意の \(x, y \in X\) に対して, \begin{align*} &d(x,A) \le d(x,y) + d(y,A), \\[0.5em] &d(y,A) \le d(y,x) + d(x,A). \end{align*} (こちらに証明があります.) したがって, \begin{align*} &d(x,A) - d(y,A) \le d(x,y), \\[0.5em] &d(y,A) - d(x,A) \le d(y,x). \end{align*} \[ \therefore \, \bigl| \, d(x,A) - d(y,A) \, \bigr| \le d(x,y). \]
  • 任意の \( \e > 0 \) に対して, \[ d(x,y) < \e \Longrightarrow \bigl| \, d(x,A) - d(y,A) \, \bigr| < \e. \] したがって, \( d(\Box, A) \) は一様連続. よって, 連続. □
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