ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

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距離空間の交わらない閉集合は、開集合で分離される。(2)

\( \newcommand{\Bx}{B \left(x, \frac{d(x, F_2)}{2} \right)} \newcommand{\By}{B \left(y, \frac{d(y, F_1)}{2} \right)} \newcommand{\dx}{d(x, F_2)} \newcommand{\dy}{d(y, F_1)} \newcommand{\dsum}{\dx + \dy} \)\( F_1 \) と \( F_2 \) を距離空間 \( X \) の交わらない閉集合とするとき, ある開集合 \( U_1 \) と \( U_2 \) が存在して, \[ F_1 \subset U_1, \quad F_2 \subset U_2, \quad U_1 \cap U_2 = \emptyset. \]

1つの証明を以前述べました. 別の証明を述べます.

\( x \in X \) と \( \emptyset \neq A \subset X \) に対して, \[ d(x, A) := \inf \left\{ d(x, a) \mid a \in A \right\} \] と定義します. (右辺の \( d \) は \( X \) に備わっている距離.) \( A \) が閉集合で \( x \not\in A \) ならば \[ d(x, A) > 0. \] (すぐ分かります. こちらにも説明があります.)
以下, \( x \in X \), \( r > 0 \) に対して, \[ B(x,r) := \left\{ y \in X \mid d(x,y) < r \right\} \] とします. (\( x \) を中心とした半径 \( r \) の開球です.)

さて, 証明.

. \(F_1\), \( F_2 \) のどちらかが空であれば自明なので, そうでないとします.

. \( x \in F_1 \), \( y \in F_2 \) に対して, \[ U_x := \Bx, \quad V_y := \By \] とおき, \[ U_x \cap V_y = \emptyset \] であることを示します. 上の集合が空でないとし, \[ z \in U_x \cap V_y \] とします. このとき, \begin{gather*} d(x, z) < \frac{\dx}{2}, \quad d(y, z) < \frac{\dy}{2}. \\[0.5em] \therefore d(x, y) \le d(x, z) + d(z, y) < \frac{\dsum}{2}. \end{gather*} これより, \begin{align*} &\dx \le d(x, y) < \frac{\dsum}{2}, \\[0.5em] &\dy \le d(x, y) < \frac{\dsum}{2}. \end{align*} 2つの不等式を足して, \[ \dsum < \dsum. \] これは矛盾です. したがって, \( U_x \cap V_y = \emptyset \).

. \begin{align*} U_1 &:= \bigcup_{x \in F_1} U_x, \\[0.5em] U_2 &:= \bigcup_{y \in F_2} V_y \end{align*} と定義すると, これらは開集合であり, \( F_1 \subset U_1 \), \( F_2 \subset U_2 \). また2より, \[ U_1 \cap U_2 = \emptyset \] です. □

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