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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

べき集合の濃度

雑記
\( \newcommand{\d}{\mathrm{def}} \)えもいわれぬ味わい.
集合 \( A \) に対して,
「 \(A\) の部分集合の全体 」
を \(A\) のべき集合といいます. これを \( P(A) \) と書くことにしましょう: \[ P(A) := \{ B \mid B \subset A \}. \]
集合 \( A \) とそのべき集合 \( P(A) \) は, 必ず異なる濃度をもちます.
  • 2つの集合 \(S\) と \(T\) の濃度が等しい \( \quad \overset{\d}{\Longleftrightarrow} \quad \) \(S\) と \(T\) の間に全単射ある.
  • 2つの集合 \(S\) と \(T\) の濃度が異なる \( \quad \overset{\d}{\Longleftrightarrow} \quad \) \(S\) と \(T\) の間に全単射ない.
以下に証明を述べましょう.
1. \( A \) と \( P(A) \) の濃度が等しいと仮定します. このとき, \( A \) から \( P(A) \) への全単射があります: \[ \Phi \, \colon \, A \to P(A), \quad a \mapsto S_a. \]
2.
f:id:ddkd:20161124174604p:plain
各 \( a \in A \) に対して, 上の状況のどちらかが起こります. 右側の状況が起こるような \( a \) を集めてみます: \[ T := \{ a \in A \mid a \not\in S_a \}. \]
3. \[ \Phi \, \colon \, A \to P(A), \quad \Box \mapsto T. \] \( \Phi \) は全単射なので, \( T \) に対応するような \( b \in A \) があります: \[ T = S_b. \]
4.
f:id:ddkd:20161124174824p:plain

上の状況のどちらかが起こります.

左の場合: \( b \in S_b \) なので, \( T \) の定義より, \[ b \not\in T. \] 矛盾です.

右の場合: \( b \not\in S_b \) なので, \( T \) の定義より, \[ b \in T. \] 矛盾です.

5. したがって, \( A \) と \( P(A) \) の濃度は異なります.
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