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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

実数全体の集合は非可算

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\a}{\alpha} \)無限にも種類があるよ, という話.
  • 無限集合 \(S\) が可算であるとは, \[ \{ 1, \, 2, \, 3, \, \ldots \} \] から \(S\) への全単射が存在することです.
  • 無限集合 \(S\) が非可算であるとは, \(S\) が可算でないことです.

後で使うので.

区間縮小法の原理: 実数 \( a_n \), \( b_n \) \( (n \ge 1) \) が \[ a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n \le \cdots \le b_n \le \cdots \le b_2 \le b_1 \] をみたすとき, \[ \bigcap_{n=1}^{\infty} \, [a_n, \, b_n] \, \neq \, \emptyset. \]

\[ a_1 < a_2 < \cdots < a_n < \cdots < b_n < \cdots < b_2 < b_1 \] であるときには, \[ \bigcap_{n=1}^{\infty} \, (a_n, \, b_n) \, \neq \, \emptyset \] です. なぜなら, \[ \bigcap_{n=1}^{\infty} \, (a_n, \, b_n) \, \supset \, \bigcap_{n=1}^{\infty} \, [a_{n+1}, \, b_{n+1}] \, \neq \, \emptyset \] だからです.

さて, ここからが本題です.

「 \( \R \) は非可算である 」
を示します.

背理法でやります.

\( \R \) が可算であると仮定して, \( \R \) の元を1列に並べます: \[ \R \, : \,\, a_1, \, a_2, \, a_3, \, \ldots \]
1. \( n_1 \) と \( b_1 \) の定義: \begin{align*} &n_1 := \min \{ n \mid a_n \in (0,1) \}, \\[0.5em] &b_1 \in (a_{n_1}, 1) \quad (\text{任意にとる}). \end{align*}
f:id:ddkd:20161123004452p:plain
2. \( n_2 \) と \( b_2 \) の定義: \begin{align*} &n_2 := \min \{ n \mid a_n \in (a_{n_1},b_1) \}, \\[0.5em] &b_2 \in (a_{n_2}, b_1) \quad (\text{任意にとる}). \end{align*}
f:id:ddkd:20161123005619p:plain
\( n_1 \) の最小性より, \[ n_1 < n_2. \]
3. \( n_3 \) と \( b_3 \) の定義: \begin{align*} &n_3 := \min \{ n \mid a_n \in (a_{n_2},b_2) \}, \\[0.5em] &b_3 \in (a_{n_3}, b_2) \quad (\text{任意にとる}). \end{align*}
f:id:ddkd:20161123005646p:plain
\( n_2 \) の最小性より, \[ n_2 < n_3. \]
4. 以下同様に繰り返します:
  • \( n_1 < n_2 < n_3 < \cdots < n_k < \cdots \).
  • \( a_{n_1} < a_{n_2} < \cdots < a_{n_k} < \cdots < b_{k} < \cdots < b_2 < b_1 \).
5. \[ \a \, \in \, \bigcap_{k=1}^{\infty} \, (a_{n_k}, b_k) \] をとります. 実数 \( \a \) に対応する番号を \( m \) とします: \[ \a = a_m. \]
6. \( a_m \in (a_{n_{k}}, b_{k}) \) なので, \( n_{k+1} \) の最小性により \[ n_{k+1} \le m \] ですが, これは \[ \lim_{k \to \infty} n_k = \infty \] に反します.
7. したがって, \( \R \) は非可算です.
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