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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

複素線形写像は実線形写像でもある。行列式の間の関係は? (4)

\( \DeclareMathOperator{\id}{id} \newcommand{\co}{\, \colon \,} \newcommand{\bz}{\boldsymbol{z}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\detR}{\textstyle \det_{\R}} \newcommand{\detC}{\textstyle \det_{\C}} \newcommand{\dimR}{\textstyle \dim_{\R}} \newcommand{\dimC}{\textstyle \dim_{\C}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\p}{\varphi} \newcommand{\t}{\tau} \newcommand{\CnC}{\C^n \otimes_{\R} \C} \newcommand{\za}{\bz \otimes \a} \newcommand{\f}{f_A \otimes \id_{\C}} \newcommand{\zvec}{\begin{pmatrix} \bz \\ \overline{\bz} \end{pmatrix}} \)\( A \) を \( n \times n \) 複素行列とし, \[ f_A \co \C^n \to \C^n, \quad \bz \mapsto A \bz \] とする. \[ \detR f_A = | \det A |^2 \] を示す.
\( \detR \) は \( \R \) 線形写像とみての行列式.

あらすじ.

  1. \( \C \) 線形写像 \[ \p \co \CnC \to \C^{2n} \quad \text{s.t.} \quad \p (\za) = \zvec \a \] がただ1つある. これは同型.
  2. 図式
    \( \CnC \) \( \xrightarrow{\f} \) \( \CnC \)
    \( \p \downarrow \phantom{\p} \) \( \phantom{\p} \downarrow \p \)
    \( \C^{2n} \) \( \xrightarrow[f_B]{} \) \( \C^{2n} \)
    は可換. ここで, \[ B := \begin{pmatrix} A & O \\ O & \overline{A} \end{pmatrix}. \]
  3. \[ \detC (\f) = \detC f_B . \]
  4. \[ \begin{cases} \detC (\f) = \detR f_A, \\[0.5em] \detC f_B = \det B = | \det A |^2. \end{cases} \] \[ \therefore \, \detR f_A = |\det A|^2. \]

より詳しく.

1.

  • \( \R \) 双線形写像 \[ \t \co \C^n \times \C \to \C^{2n}, \quad (\bz, \a) \mapsto \zvec \a \] を考える. テンソル積の普遍性より, \( \R \) 線形写像 \[ \p \co \CnC \to \C^{2n} \quad \text{s.t.} \quad \p (\za) = \t (\bz, \a) \] がただ1つ存在する.
  • \( \p \) は \( \C \) 線形写像でもある.
  • \( \p \) は全射. \begin{align*} &\dimC (\CnC) = \dimR \C^n = 2n, \\[0.5em] &\dimC \C^{2n} = 2n \end{align*} より, \( \p \) は \( \C \) ベクトル空間の同型.
2. \begin{align*} &\p \, (\f) \,(\za) = \p \, (A \bz \otimes \a) = \begin{pmatrix} A \bz \\ \overline{A \bz} \end{pmatrix} \a, \\[0.5em] &f_B \, \p \, (\za) = f_B \left( \zvec \a \right) = \begin{pmatrix} A \bz \\ \overline{A} \overline{\bz} \end{pmatrix} \a. \end{align*} ここの補題より, \[ \p \, (\f) = f_B \, \p . \]
3. はよいでしょう.
4. \[ \detC (\f) = \detR f_A \] は「ベクトル空間の係数拡大と行列式」より.
終わり.
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