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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

ベクトル空間の係数拡大と行列式

雑記
\( \DeclareMathOperator{\id}{id} \newcommand{\p}{\varphi_c} \newcommand{\f}{f \otimes \id_K} \newcommand{\V}{V \otimes_k K} \)\( k \subset K \) を体の拡大. \( V \) は \( k \) 上の \( n \) 次元ベクトル空間で, \[ f \colon V \to V \] は \( k \) 線形写像.
さて, 2つの線形写像がある. \begin{align*} f &\colon V \to V \quad (\text{\( k \) 線形}), \\[0.5em] \f &\colon \V \to \V \quad (\text{\( K \) 線形, 後で示す}). \end{align*} このとき, \[ \textstyle \det_k f = \det_K (\f) \] である.

\( \f \) は \( K \) 線形: もともと \( k \) 線形写像であるので(線形写像のテンソル積), \[ (\f)(cx) = c(\f)(x) \quad (\forall \, c \in K, \,\, \forall \, x \in \V) \] を示せばよい. つまり, \[ m_c \, \colon \, \V \to \V, \quad x \mapsto cx \quad (c \in K) \] に対して, \[ (\f) \, m_c = m_c \, (\f) \] を示せばよい.

\( v \in V \), \( a \in K \) に対して, \begin{align*} (\f) \, m_c \, (v \otimes a) &= (\f) \, (v \otimes ca) \\[0.5em] &= f(v) \otimes (ca), \\[0.5em] m_c \, (\f) \, (v \otimes a) &= m_c \, (f(v) \otimes a) \\[0.5em] &= f(v) \otimes (ca) \end{align*} なので, 補題より \[ (\f) \, m_c = m_c \, (\f) \] である. (注意: \( m_c \) は \( k \) 線形である.)

\( \textstyle \det_k f = \det_K (\, \f) \) :

\( v_1, \, \ldots, \, v_n \) : \( V \) の \( k \) 基底,
\( v_1 \otimes 1, \, \ldots, \, v_n \otimes 1 \) : \( \V \) の \( K \) 基底.

ベクトル空間の係数拡大(2)

1. \( v_1, \ldots, v_n \) に関する \( f \) の行列表示を \( A \) とする. \( A \) は \( k \) 成分の \( n \times n \) 行列: \[ f (v_1, \ldots, v_n) = (v_1, \ldots, v_n) \, A. \]

2. \( v_1 \otimes 1, \ldots, v_n \otimes 1 \) に関する \( \f \) の行列表示は, \begin{align*} (\f) (v_1 \otimes 1, \ldots, v_n \otimes 1) &= (f(v_1) \otimes 1, \, \ldots, \, f(v_n) \otimes 1) \\[0.5em] &= (v_1 \otimes 1, \ldots, v_n \otimes 1) \, A \end{align*} より \( A \) である.

3. したがって, \[ \textstyle \det_k f = \det A = \det_K (\f). \]

終わり.
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