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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

線形写像のテンソル積

雑記
\( \newcommand{\V}{V \otimes W} \newcommand{\Vd}{V' \otimes W'} \newcommand{\t}{\tau_{f,g}} \newcommand{\fg}{f \otimes g} \)\( V \), \( V' \), \( W \), \( W' \) を体 \( k \) 上のベクトル空間とします. 2つの \( k \) 線形写像 \begin{align*} &f \colon V \to V', \\ &g \colon W \to W' \end{align*} から, 新しい \( k \) 線形写像 \[ f \otimes g \colon \V \to \Vd \] を作ります.
写像 \[ \t \colon V \times W \to \Vd, \quad (v,w) \mapsto f(v) \otimes g(w) \] は \( k \) 双線形写像なので, 図式
\( V \times W \) \( \stackrel{\large \otimes}{\longrightarrow} \) \( \V \)
\( \longrightarrow \) \( \phantom{\fg} \downarrow \fg \)
\( \Vd \)
\( V \times W \) \( \stackrel{\large \otimes}{\longrightarrow} \) \( \V \)
\( \begin{matrix} {} \\ \t \,\,\, \end{matrix} \) \( \phantom{\fg} \downarrow \fg \)
\( \Vd \)
を可換にする \( k \) 線形写像 \[ \fg \colon \V \to \Vd \] がただ1つ存在します. \( v \in V\), \( w \in W \) に対して, \[ (\fg)(v \otimes w) = f(v) \otimes g(w) \] が成り立ちます.
終わり.
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