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ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

複素線形写像は実線形写像でもある。行列式の間の関係は? (3)

雑記
\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\b}{\beta} \newcommand{\c}{\gamma} \newcommand{\d}{\delta} \newcommand{\abar}{\overline{\a}} \newcommand{\bbar}{\overline{\b}} \newcommand{\cbar}{\overline{\c}} \newcommand{\dbar}{\overline{\d}} \newcommand{\m}{m_A} \newcommand{\detR}{{\textstyle \det_{\R}}} \newcommand{\detC}{{\textstyle \det_{\C}}} \)\( 2 \times 2 \) 複素行列 \[ A = \begin{pmatrix} \a & \c \\ \b & \d \end{pmatrix} \] を考える. 実線形かつ複素線形な写像 \[ \m \colon \C^2 \to \C^2, \quad \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} \mapsto A \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} \] に対して, \[ \textstyle \det_{\R} \m = \left| \det_{\C} \m \right|^2 \] は成り立つか?
\( n=1 \) のときの計算をまねしてみます。
\( \C^2 \) の \( \R \) 基底として, \[ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} i \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix} \] がとれます. この基底に関する実線形写像 \( \m \) の行列表示は, \begin{align*} A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \a \\ \b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \a_x + i \a_y \\ \b_x + i \b_y \end{pmatrix} \\[0.5em] &= \a_x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \b_x \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \a_y \begin{pmatrix} i \\ 0 \end{pmatrix} + \b_y \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix}, \\[0.5em] A \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \c \\ \d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \c_x + i \c_y \\ \d_x + i \d_y \end{pmatrix} \\[0.5em] &= \c_x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \d_x \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \c_y \begin{pmatrix} i \\ 0 \end{pmatrix} + \d_y \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix}, \\[0.5em] A \begin{pmatrix} i \\ 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} i\a \\ i\b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\a_y + i \a_x \\ -\b_y + i \b_x \end{pmatrix} \\[0.5em] &= -\a_y \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \b_y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \a_x \begin{pmatrix} i \\ 0 \end{pmatrix} + \b_x \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix}, \\[0.5em] A \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} i\c \\ i\d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\c_y + i \c_x \\ -\d_y + i \d_x \end{pmatrix} \\[0.5em] &= -\c_y \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \d_y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \c_x \begin{pmatrix} i \\ 0 \end{pmatrix} + \d_x \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix} \end{align*} より, \[ \left( \begin{array}{cc|cc} \a_x & \c_x & -\a_y & -\c_y \\ \b_x & \d_x & -\b_y & -\d_y \\ \hline \a_y & \c_y & \a_x & \c_x \\ \b_y & \d_y & \b_x & \d_x \end{array} \right). \]
さて, 行列式を計算しましょう: \begin{align*} \left| \begin{array}{cc|cc} \a_x & \c_x & -\a_y & -\c_y \\ \b_x & \d_x & -\b_y & -\d_y \\ \hline \a_y & \c_y & \a_x & \c_x \\ \b_y & \d_y & \b_x & \d_x \end{array} \right| &= \left| \begin{array}{cc|cc} \a & \c & i\a & i\c \\ \b & \d & i\b & i\d \\ \hline \a_y & \c_y & \a_x & \c_x \\ \b_y & \d_y & \b_x & \d_x \end{array} \right| \quad \begin{pmatrix} \text{1行目 \( \leftarrow \) 3行目 \( \times \, i \)} \\ \text{2行目 \( \leftarrow \) 4行目 \( \times \, i \)} \end{pmatrix} \\[0.5em] &= \left| \begin{array}{cc|cc} \a & \c & 0 & 0 \\ \b & \d & 0 & 0 \\ \hline \a_y & \c_y & \abar & \cbar \\ \b_y & \d_y & \bbar & \dbar \end{array} \right| \quad \begin{pmatrix} \text{3列目 \( \leftarrow \) 1列目 \( \times \, (-i) \)} \\ \text{4列目 \( \leftarrow \) 2列目 \( \times \, (-i) \)} \end{pmatrix} \\[0.5em] &= \left| \begin{array}{cc|cc} \a & \c & 0 & 0 \\ \b & \d & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & \abar & \cbar \\ 0 & 0 & \bbar & \dbar \end{array} \right| \quad \text{(前回と同じ計算)} \\[0.5em] &= \left| \,\, \left( \begin{array}{cc|cc} \a & \c & 0 & 0 \\ \b & \d & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \,\, \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & \abar & \cbar \\ 0 & 0 & \bbar & \dbar \end{array} \right) \,\, \right| \\[0.5em] &= \left| \begin{array}{cc|cc} \a & \c & 0 & 0 \\ \b & \d & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right| \, \times \, \left| \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & \abar & \cbar \\ 0 & 0 & \bbar & \dbar \end{array} \right| \\[0.5em] &= \begin{vmatrix} \a & \c \\ \b & \d \end{vmatrix} \, \times \, \begin{vmatrix} \abar & \cbar \\ \bbar & \dbar \end{vmatrix} \quad \text{(展開)} \\[0.5em] &= \begin{vmatrix} \a & \c \\ \b & \d \end{vmatrix} \, \times \, \overline{ \begin{vmatrix} \a & \c \\ \b & \d \end{vmatrix} }. \end{align*} したがって, \[ \detR \m = | \detC \m |^2 \] です.
目的の式が得られました. これを計算せずに導く方法もあるので, 次回, それを見てみます.

ついでに.

\( B \), \( C \) を \( n \times n \) 実行列とするとき, \[ \det \begin{pmatrix} B & -C \\ C & B \end{pmatrix} = \bigl| \, \det (B + iC) \, \bigr|^2. \]

続く. (\( \to \) 複素線形写像は実線形写像でもある。行列式の間の関係は? (4)
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