ニ☆ウ☆ト☆ラ☆ボ

タイトルテスト中

複素線形写像は実線形写像でもある。行列式の間の関係は? (2)

\( \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\a}{\alpha} \)\( \a = a + bi \in \C \) (\(a\), \(b \in \R\))に対して, \[ \begin{vmatrix} a & -b \\ b & a \end{vmatrix} = a^2 + b^2 = | \a |^2 \] ですが, これを少し違った方法で計算してみます: \begin{align*} \begin{vmatrix} a & -b \\ b & a \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a + bi & -b + ai \\ b & a \end{vmatrix} \quad \text{(1行目 \( \leftarrow \) 2行目 \( \times i \))} \\[1em] &= \begin{vmatrix} \a & i \a \\ b & a \end{vmatrix} \\[1em] &= \begin{vmatrix} \a & 0 \\ b & a - bi \end{vmatrix} \quad \text{(2列目 \( \leftarrow \) 1列目 \( \times (-i) \))} \\[1em] &= \begin{vmatrix} \a & 0 \\ b & \overline{\a} \end{vmatrix} \\[1em] &= \begin{vmatrix} \a & 0 \\ b - \frac{\a - \overline{\a}}{2i} & \overline{\a} \end{vmatrix} \quad \begin{pmatrix} \text{2行目 \( \leftarrow \) 1行目 \( \times \left( -\frac{1}{2i} \right) \)} \\ \text{1列目 \( \leftarrow \) 2列目 \( \times \left( \frac{1}{2i} \right) \)} \end{pmatrix} \\[1em] &= \begin{vmatrix} \a & 0 \\ 0 & \overline{\a} \end{vmatrix} \\[1em] &= | \a |^2. \end{align*}
続く.
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